Lattice Vibration周辺

　フォノン散乱過程を量子論の俎上に載せる方法を思いついた。何人かには話したが、この感動を忘れたくないのでメモ。（多分どっかの教科書には書いてあることなのだが）

　周期構造を持った結晶の各格子点が振動する効果を議論するにはどうするか？

ハミルトニアン＝格子点についての運動エネルギー項＋相互作用項

　H　＝　sigma(P^2/2m) + sigma(U(r_i - r_j))

ポテンシャル一般について、平衡位置からの微小な変位をする格子点に対するかかり方は、座標の２次まで取るのは良い近似である。このときポテンシャル項は２次形式にかけるので、適当な座標変換をして対角化することは可能。するとハミルトニアンは異なる振動数をもつ一体調和振動子のハミルトニアンの和で書ける。ここで演算子を量子化し、それぞれのモードに関する生成消滅演算子および、各モードの励起状態の直積｜n1＞｜n2＞｜n3＞‥｜nk＞を考えてやる。こうすることで、完全調和ポテンシャル下における格子振動が、それぞれ独立な振動モードの重ね合わせで表せるという現象の量子力学における表現を得た。つまりハミルトニアンがもはやsigma(hbar w(a†a + 1/2))と表せているので時間発展させても各モードはその励起数を変えないという描像。

先に考えた直積を基底状態に取り、非調和ポテンシャルを導入、量子化すると、それを基底で挟んだとき、励起数を変えるような遷移振幅がノンゼロになることは明らか。この方法でフォノンフォノン散乱現象の微視的な遷移振幅は計算できるはず。今のところ以上。



それにしてもフォノンというのはワケが分からない。座標変換によって基準モードに分解した後は、もはや新しい座標は、物質の特定の位置を指すという本来的意味を失ってるはずだ。そういったものを（仮に複数のモードを重ね合わせたとしても）局在波束という描像を使っていいものなのか？つーか座標変換後における振動の波数の物理的意味は？


つーか最近第二量子化というツールのすごさをしみじみと感じる。分かってくると何でもできるような気分になってくるなあ。正当性はまだ自分で確認してないけど（実験論文やらを当たってないという意）