ＪＪサクライ[6]

本文個人的まとめ
3-5
回転の生成演算子と、その固有状態の一般論。
重要なのが、この章で展開されているのが回転の任意次元表現に関する話ということです。三次元だけのものじゃないんですよ回転ってぇのは。

3-6
　座標と運動量から構成した古典的角運動量を演算子にすると、その成分が今まで見てきた回転の生成演算子が満たす交換関係と一致する。つまりここまでのロジックがX×Pにも適用可能ということ。んではこの（X×P）の各成分から作られる演算子J^2,J_zなんかの固有状態とは何か。答えはあらゆる｜j,m＞(j=整数)。とりあえず有限個の(j,m)でおさまらないことは、(X×P)が無限次元ヒルベルト空間にかかるエルミート演算子であることから自明。jが半整数をとりえないことを保証するのはシュトゥルム＝リウビルの定理だそうだ。また出たよこれ。猪木河合でも見たなあ。でも詳しく知る気にはなれん。｜j,m＞の角度表示が球面調和関数である。すげえ、ちゃんと満たすべき微分方程式が出てきた。球面調和関数と回転行列の成分の関係がいまいちしっくり来ないなあ。式は出せるけど。

3-7
　回転について不変な二つの系をいっしょくたに考える手法。｜j_1m_1＞｜j_2m_2＞と同じヒルベルト空間を張る別の表示について。こういうことを考えるメリットとは何か。二つの系をいっしょくたに扱う場合には、それぞれの角運動量の関係性に依存する相互作用がしばしば現れる。例えば∝L_1・L_2とか。この形の相互作用は前者の表示では対角化されない。後者なら対角化できる。

　？L_1×L_2の形の相互作用は対角化されるか？（マジであるらしい。しかも最近の物性界のホットトピックらしい。）

　変換の構成の仕方――CG係数。原理的には一つの係数から全てが構成される。
　つまるところ、この章の話は「直積の空間にかかる回転が直和分解される」というはなしなのですが、最後にその分解の際の行列要素の関係に関するCG級数の式が導入されている。これを利用すれば球面調和関数のあらゆる形の積の積分が計算出来るでしょう。例は３つの積だけだったけど。正直言って球面調和関数の重要性というものをいまいち肌で感じていないのですが、ここは習熟しといたほうがいい感がムンムンしますね。（もちろん言葉の上では球面調和関数が重要だってのは分かってるが。なにせまず適用範囲が広すぎる。距離依存ポテンシャルの働く２体量子系の問題は必ず球対称ポテンシャル問題に帰着できる。またあらゆる形の角度依存性は球面調和関数に分解できる。ただそれを必要とする具体的問題をやってない。授業でやったかもしれないが身についてない、自分で深く考察してないっつーことだ。そういうところを補強するのも量子論をやり直している目的の一つなのだ。）

3-8
　シュウィンガーさんがすごい章。数学的な構造が同じ系は同じ計算結果を与える。当たり前だが、それをきっちり適用できる人はやはりすごい。訓練訓練。これで晴れて任意のjに属するベクトル空間の上での回転の行列表示が導出できるようになりました。めでたしめでたし。