ネクストステージ

書きなぐる習慣はある程度ついた。

そろそろ次の段階へ進むべきかもしれません。

人が読める程度の文を書く、これをちょこっとだけ目指してみよう、か。

フェッター[1]

以前に読んだときは、何の演算子がどんなベクトル空間にかかっているかが全く整理されてなかったのであまりにのもカオスだったが、今度はある程度ちゃんと読めているらしい。

１章
chap1-2
さすがに第二量子化の導出はパス。
セルフチェック：どれが一体の状態ベクトルの空間にかかっている演算子か？
　　　　　　　　　そしてどれがフォック空間にかかっている演算子か？

場の量子化のエッセンスは、非摂動ハミルトニアンの固有状態で展開した場の係数を量子化し、それらが適当な交換・反交換条件を満たすようにしてやること。ここでは議論のとびがあるのは当たり前なのです。ここら辺の定式化はペスキンをやったおかげでしっくり来る。

chap3
自分で問題設定を考えて、計算を独りで出来るようにした・・・つもり。
要は摂動論をやってるだけなのだから、初等的な摂動で出せるものは全部出すってだけの流れ。
クーロン相互作用は巨視的な中性物体ではキャンセルするはずなので、しかるべきキャンセルが起こるように、背景の正電荷によるポテンシャルなどを考慮した。

chap4-5
「BE凝縮は運動量空間で見た秩序状態である」これは新鮮な見方だった。
この転移には潜熱が必要ないので、二次転移である。となれば、そう、境界で様々な物理量が特異的な振る舞いを示すのだ。化学ポテンシャルの評価の仕方が斬新。こんなの考えつかねえよ。

Lattice Vibration周辺

　フォノン散乱過程を量子論の俎上に載せる方法を思いついた。何人かには話したが、この感動を忘れたくないのでメモ。（多分どっかの教科書には書いてあることなのだが）

　周期構造を持った結晶の各格子点が振動する効果を議論するにはどうするか？

ハミルトニアン＝格子点についての運動エネルギー項＋相互作用項

　H　＝　sigma(P^2/2m) + sigma(U(r_i - r_j))

ポテンシャル一般について、平衡位置からの微小な変位をする格子点に対するかかり方は、座標の２次まで取るのは良い近似である。このときポテンシャル項は２次形式にかけるので、適当な座標変換をして対角化することは可能。するとハミルトニアンは異なる振動数をもつ一体調和振動子のハミルトニアンの和で書ける。ここで演算子を量子化し、それぞれのモードに関する生成消滅演算子および、各モードの励起状態の直積｜n1＞｜n2＞｜n3＞‥｜nk＞を考えてやる。こうすることで、完全調和ポテンシャル下における格子振動が、それぞれ独立な振動モードの重ね合わせで表せるという現象の量子力学における表現を得た。つまりハミルトニアンがもはやsigma(hbar w(a†a + 1/2))と表せているので時間発展させても各モードはその励起数を変えないという描像。

先に考えた直積を基底状態に取り、非調和ポテンシャルを導入、量子化すると、それを基底で挟んだとき、励起数を変えるような遷移振幅がノンゼロになることは明らか。この方法でフォノンフォノン散乱現象の微視的な遷移振幅は計算できるはず。今のところ以上。



それにしてもフォノンというのはワケが分からない。座標変換によって基準モードに分解した後は、もはや新しい座標は、物質の特定の位置を指すという本来的意味を失ってるはずだ。そういったものを（仮に複数のモードを重ね合わせたとしても）局在波束という描像を使っていいものなのか？つーか座標変換後における振動の波数の物理的意味は？


つーか最近第二量子化というツールのすごさをしみじみと感じる。分かってくると何でもできるような気分になってくるなあ。正当性はまだ自分で確認してないけど（実験論文やらを当たってないという意）

ペスキン[3]

演習4-4 ラザフォード散乱

(a)定義どおりにやれば終わり。

(b)invariant matrixは始状態と終状態の間の物理量保存部分を＜iT＞からくくりだしたもの。考える反応によって当然保存量は違うので、今回のような外場の中での一体散乱の場合は、それにふさわしい形に定義する。定義のうちの×（定数）の部分は本質的にはどうでも良いし、Feynman Rulesをそれに対応して自分好みに×（定数）分だけいじっても構わない。ただ自分で計算しやすいようにとりましょう。
　本質的なのは、＜iT＞と実際の物理量―ここでは散乱断面積―を関連付ける部分。粒子のバルクと粒子のバルク間の反応回数から散乱断面積が定義されているので、始状態は、規格化された波束にとって考える。コヒーレントな波束を考えるなら、それぞれの衝突パラメータに応じた相対的位相をつけなければいけない。このあたりは本文と同じ。波束の局在ぶりを十分とする仮定を計算の随所に使い、求める形が現れる。

(c)略。
　　ラザフォード散乱の高次補正もすぐ求められると思います。やってないけど。

総論：
面白かった。教科書の議論に対する理解も深まったし、この問題における定式化は、外場中における一体散乱の解析の方法として普遍的に使えるもんだと思います。多分。

メモ

個人的ノート

やっておきたいトピック

・相転移、臨界現象の基礎
　　基本的モデルおよび計算法の確認。KT転移。

・線形応答理論、確率過程
　　基本的哲学がまだ分からないので

・場の量子論−量子電磁気学
・場の量子論−統計力学における
　　ようやくなんとなーく何をやっているかのイメージは芽生えてきたのでさらに続けたい

・固体物性基礎
　　基本的なとこでも知らないことだらけ。個人的には今一番読み進めて楽しいトピック。

・散乱理論基礎
　　そもそも何を見ているか、という点で整理が足りない。物理に結びついてない、というか。


問題はこれらをどういう配分でこなしていくか、ということなのだが。




長期的努力で身につけるべきもの

・基本的姿勢、というかスキル
　　物理的イメージありきで考える。そしてイメージを式にするという習慣。

マーミン[2]

つれづれ。

・なぜタイトバインディングの仮定である種の金属はうまく説明されるのか？

・Bloch波動関数の直交性は意外とnontrivialな証明を必要なように思えるのだが、なにか基本的なことを見落としてるのだろうか。同じ結晶波数k、異なるnの状態の直交性を保証するのは（おそらく）シュトゥルムリウビル定理なのだが、異なる波数についての直交性は？

・nearly free electron approximationの際のフェルミ面のゆがみ方をしっくり受け入れるにはこれまたちょっとした考察が必要。Brillouin zoneの境界をcrossする自由電子のバンドのうち、外側のエネルギーが上がるのだから、フェルミ面の外側部分は逆に原点に近づく。つまり、フェルミ面作図の方法は

１、球を描く
２、好きなだけBrillouin zoneを書きなぐる
３、境界で、相対的に外側になってるほうを、中心近くにずらす
４、適宜Kだけずらして第一BZ内に
５、シュールなオブジェが完成

・一電子の感じるポテンシャルのうち、対称性を担保するほうがΔUだ。しかしspin-orbit interactionを新たに（記述されてる形式で）いれると、H_atm+ΔUの対称性は失われてしまうのでは？原点の場とのspin-orbitを考えてないから。

ペス[2]

第4章　

・vacuum　bubbleの物理的意味は真空の発展です、ってほんとかな。式変形で振動する位相因子をcancelしてんだから、本当の真空基底（のハイゼンベルグ表示）はもっと違う形をしてるのでは、とも思うんだが。つーかかなりアクロバティックなcancellationを経てるのだからダイアグラムに対して物理的解釈を考えるのがナンセンスに見える。

・しかし相互作用表示ってのはよく考えられたもんだ。よく分からないものどもをよく分かってるものどもで表して理解しようとする。そうかそれこそ物理の方法論なのだ。

・後半は話が飛びすぎ。基礎が分かってないのに計算規則だけ与えられても楽しくないし不安だ。

演習4-1
(a)基本に戻ってシュレディンガー表示で時間発展を真空で挟むところからスタートすればstraightforward。
(b)かーなーりテクニカル。確率振幅を考えてる間は永遠にフーリエ変換に帰着できないが、確率を考える段階で、問題の項の複素共役項が足され、積分区間が見事埋まり、フーリエ変換できる。
(c)J(x)J(x')は自分のお好みのダイアグラムで書いてみましょう。ダイアグラムに反映させなければいけないのはx,x'に対する依存性。
(d)連続固有値の固有状態への移行確率を考えることになるため、前半はあんまり適切な問題ではないと思う。後半はちゃんとwelldefinedです。
(e)詰まった。
(f)略

Rutherford散乱はやっときたい。

マーミン[1]

この教科書、というか固体物理学の文献とは、現象論の立て方のノウハウの貯蔵庫みたいだなあ、ということを読んでて思った。


１、Drude theory
理論が正当でないことはすでに語られているが、個人的に思ったことをいくつか。

・仮説とそのチェックについての一般論：ある現象を説明する仮説を立てるとき、最初に課した要請と反するようなnontrivialな計算結果が得られたら、その仮説は破棄されなければならない。研究活動においてはそのようなチェックを自分で行わなければならない。Drude theoryにおいては、考えてる現象の描像が、「ひしめき合う剛体の間を、ぶつかりながらまっすぐ進む電子」というものなので、平均自由行程がÅのオーダーを越えた時点で、うまく行っていない、ということになる。

・仮説を立てるときのモチベーション：何を語りたいか、ということを大事にしなければならない。Drude theoryの4つの仮定のうち、第4のそれは、固体の各サイト周りに局所的熱浴を用意するようなもので、当然のごとくエネルギー保存法則には抵触する。そんな仮説立てちゃっていいの？と思えるが、しかし、この理論で見たいのは、電流、熱流などの流れなのである。流れ自体を考えるときはエネルギー保存は重要ではない、と思う。それらの流れが起こる機構が、仮定から説明でき、立式できる。それで十分だ。

２、Sommerfeld theory
排他律だけを反映させてみました。こっちのほうが精度がいいのは、金属固体特有の事情（電子密度が大きい）によります。r_sとかE_fとかの典型値のイメージをつけておくのは重要だな。

気づいたこと何点か

１、摂動についてちょっと前に気づいたこと

・（時間依存しない）摂動ハミルトニアンを与えても、それよりエネルギー差の大きい別の準位への遷移は（滅多に）起こらない。その効果が固有状態の摂動の表式に含まれている。

ちゃんと物理を見てれば、ものっすごい当たり前に見えるステートメントだ。つーか古典的エネルギー保存の延長みたいなもんだ。院試の時期には全く気づかなかったのが悔しい。

・そもそもある複数の状態を摂動と捉えるかどうかは、準位差と摂動の大きさの兼ね合いの問題だ。摂動と比較的して準位差が同じくらいか小さい、一群の状態たちの変化を説明できるのが摂動論の真の強さなのではないか。

上の関連事項。J作の五章を読んでて気づいた。演習にその旨の問題があるのは、まあ、そういうことでしょうな。

まとめれば、摂動論におけるエネルギースケールの役割についての理解が深まったということ、か。


２、散乱についてちょっと前に気づいたこと

・Lipmann-Schwinger方程式の導出のスタート地点である以下の仮定

H_0|φ>=E|φ>　（φは平面波）
（H_0 + V）|ψ>=E|ψ>　（Eは同じ値）

これが、弾性散乱を量子力学で表そうとした場合、マジびっくりするほど自然な要請であることに気づいた。

多分僕でもこう立てると思います。それくらい自然に感じられた。

ぬん

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1、冬休みに手をつけ始めたもの

Solid State Physics (1976) Neil W. Ashcroft、N.David Mermin 他 商品詳細を見る

２、今日からやり直すことにしたもの

Quantum Theory of Many-Particle Systems (2003/06) Alexander L. Fetter、John Dirk Walecka 他 商品詳細を見る

タコのように手を拡げ続けた先になにがあるのか？それは私にも分かりません。必要でないことは一つもないとは確信してます。