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本文個人的まとめ
3-5
回転の生成演算子と、その固有状態の一般論。
重要なのが、この章で展開されているのが回転の任意次元表現に関する話ということです。三次元だけのものじゃないんですよ回転ってぇのは。
3-6
座標と運動量から構成した古典的角運動量を演算子にすると、その成分が今まで見てきた回転の生成演算子が満たす交換関係と一致する。つまりここまでのロジックがX×Pにも適用可能ということ。んではこの（X×P）の各成分から作られる演算子J^2,J_zなんかの固有状態とは何か。答えはあらゆる｜j,m＞(j=整数)。とりあえず有限個の(j,m)でおさまらないことは、(X×P)が無限次元ヒルベルト空間にかかるエルミート演算子であることから自明。jが半整数をとりえないことを保証するのはシュトゥルム＝リウビルの定理だそうだ。また出たよこれ。猪木河合でも見たなあ。でも詳しく知る気にはなれん。｜j,m＞の角度表示が球面調和関数である。すげえ、ちゃんと満たすべき微分方程式が出てきた。球面調和関数と回転行列の成分の関係がいまいちしっくり来ないなあ。式は出せるけど。
3-7
回転について不変な二つの系をいっしょくたに考える手法。｜j_1m_1＞｜j_2m_2＞と同じヒルベルト空間を張る別の表示について。こういうことを考えるメリットとは何か。二つの系をいっしょくたに扱う場合には、それぞれの角運動量の関係性に依存する相互作用がしばしば現れる。例えば∝L_1・L_2とか。この形の相互作用は前者の表示では対角化されない。後者なら対角化できる。
？L_1×L_2の形の相互作用は対角化されるか？（マジであるらしい。しかも最近の物性界のホットトピックらしい。）
変換の構成の仕方――CG係数。原理的には一つの係数から全てが構成される。
つまるところ、この章の話は「直積の空間にかかる回転が直和分解される」というはなしなのですが、最後にその分解の際の行列要素の関係に関するCG級数の式が導入されている。これを利用すれば球面調和関数のあらゆる形の積の積分が計算出来るでしょう。例は３つの積だけだったけど。正直言って球面調和関数の重要性というものをいまいち肌で感じていないのですが、ここは習熟しといたほうがいい感がムンムンしますね。（もちろん言葉の上では球面調和関数が重要だってのは分かってるが。なにせまず適用範囲が広すぎる。距離依存ポテンシャルの働く２体量子系の問題は必ず球対称ポテンシャル問題に帰着できる。またあらゆる形の角度依存性は球面調和関数に分解できる。ただそれを必要とする具体的問題をやってない。授業でやったかもしれないが身についてない、自分で深く考察してないっつーことだ。そういうところを補強するのも量子論をやり直している目的の一つなのだ。）
3-8
シュウィンガーさんがすごい章。数学的な構造が同じ系は同じ計算結果を与える。当たり前だが、それをきっちり適用できる人はやはりすごい。訓練訓練。これで晴れて任意のjに属するベクトル空間の上での回転の行列表示が導出できるようになりました。めでたしめでたし。
3-5
回転の生成演算子と、その固有状態の一般論。
重要なのが、この章で展開されているのが回転の任意次元表現に関する話ということです。三次元だけのものじゃないんですよ回転ってぇのは。
3-6
座標と運動量から構成した古典的角運動量を演算子にすると、その成分が今まで見てきた回転の生成演算子が満たす交換関係と一致する。つまりここまでのロジックがX×Pにも適用可能ということ。んではこの（X×P）の各成分から作られる演算子J^2,J_zなんかの固有状態とは何か。答えはあらゆる｜j,m＞(j=整数)。とりあえず有限個の(j,m)でおさまらないことは、(X×P)が無限次元ヒルベルト空間にかかるエルミート演算子であることから自明。jが半整数をとりえないことを保証するのはシュトゥルム＝リウビルの定理だそうだ。また出たよこれ。猪木河合でも見たなあ。でも詳しく知る気にはなれん。｜j,m＞の角度表示が球面調和関数である。すげえ、ちゃんと満たすべき微分方程式が出てきた。球面調和関数と回転行列の成分の関係がいまいちしっくり来ないなあ。式は出せるけど。
3-7
回転について不変な二つの系をいっしょくたに考える手法。｜j_1m_1＞｜j_2m_2＞と同じヒルベルト空間を張る別の表示について。こういうことを考えるメリットとは何か。二つの系をいっしょくたに扱う場合には、それぞれの角運動量の関係性に依存する相互作用がしばしば現れる。例えば∝L_1・L_2とか。この形の相互作用は前者の表示では対角化されない。後者なら対角化できる。
？L_1×L_2の形の相互作用は対角化されるか？（マジであるらしい。しかも最近の物性界のホットトピックらしい。）
変換の構成の仕方――CG係数。原理的には一つの係数から全てが構成される。
つまるところ、この章の話は「直積の空間にかかる回転が直和分解される」というはなしなのですが、最後にその分解の際の行列要素の関係に関するCG級数の式が導入されている。これを利用すれば球面調和関数のあらゆる形の積の積分が計算出来るでしょう。例は３つの積だけだったけど。正直言って球面調和関数の重要性というものをいまいち肌で感じていないのですが、ここは習熟しといたほうがいい感がムンムンしますね。（もちろん言葉の上では球面調和関数が重要だってのは分かってるが。なにせまず適用範囲が広すぎる。距離依存ポテンシャルの働く２体量子系の問題は必ず球対称ポテンシャル問題に帰着できる。またあらゆる形の角度依存性は球面調和関数に分解できる。ただそれを必要とする具体的問題をやってない。授業でやったかもしれないが身についてない、自分で深く考察してないっつーことだ。そういうところを補強するのも量子論をやり直している目的の一つなのだ。）
3-8
シュウィンガーさんがすごい章。数学的な構造が同じ系は同じ計算結果を与える。当たり前だが、それをきっちり適用できる人はやはりすごい。訓練訓練。これで晴れて任意のjに属するベクトル空間の上での回転の行列表示が導出できるようになりました。めでたしめでたし。
個人的まとめ
本文3-1〜3-3
3次元における回転操作は、あらゆる点の原点からの距離を不変にすることで特徴付けられる。回転演算は3つの独立な軸があり、それぞれ恒等変換の周りで滑らかにパラメトライズされるので、対応する生成演算子がある。それらは交換関係[J_i,J_j]=iε_(ijk)J_kを満たす。生成子の満たすこれらの交換関係こそが3次元回転を特徴付けるものである。
回転群は色々な次元のベクトル空間上の変換として表現できる。どんな空間で表現しようと共通の特徴は
�＼言�子の交換関係（というかリー代数ですね）
�⊂�態を回転させたときの生成子（エルミート）の期待値の変換性
くらいか。オイラー回転の式を使うことでどんな次元の表現でも、生成子から任意の回転を構成できる。
回転群の２次元表現は1/2スピン系の枠組みに一致する。この系の顕著な特徴として、状態が2π回転で符号が逆になる。このことの正しさは干渉を計測することで検証できる。この結果が量子力学の枠組みの正しさを担保している。
3-4
前後とはちょっと異色な章。
現実の系は一つのケットで特徴付けられているとは限らない。様々な状態ケットがインコヒーレントに混ざり合ってる系を扱うための理論的枠組みの導入。
この枠組み内において、「熱平衡」という状態を、物理的にある程度妥当に思える要請を行うことで、統計力学の定式化が可能であり、それは古典統計力学と一致する。
演習３章
4.
ある基底での表示が０行列であるような演算子は、どんな表示でも０。
9.
組成が不明な混合アンサンブルがあるとき、様々な物理量の期待値を観測することで、密度行列が構成できる。いくつ観測すればいいかは、考えてる次元のエルミートでトレースが1の行列の自由度による。
？可能な密度行列の成す空間が�．┘襯漾璽鉢�tr=1行列全体に等しいことは自明？
本文3-1〜3-3
3次元における回転操作は、あらゆる点の原点からの距離を不変にすることで特徴付けられる。回転演算は3つの独立な軸があり、それぞれ恒等変換の周りで滑らかにパラメトライズされるので、対応する生成演算子がある。それらは交換関係[J_i,J_j]=iε_(ijk)J_kを満たす。生成子の満たすこれらの交換関係こそが3次元回転を特徴付けるものである。
回転群は色々な次元のベクトル空間上の変換として表現できる。どんな空間で表現しようと共通の特徴は
�＼言�子の交換関係（というかリー代数ですね）
�⊂�態を回転させたときの生成子（エルミート）の期待値の変換性
くらいか。オイラー回転の式を使うことでどんな次元の表現でも、生成子から任意の回転を構成できる。
回転群の２次元表現は1/2スピン系の枠組みに一致する。この系の顕著な特徴として、状態が2π回転で符号が逆になる。このことの正しさは干渉を計測することで検証できる。この結果が量子力学の枠組みの正しさを担保している。
3-4
前後とはちょっと異色な章。
現実の系は一つのケットで特徴付けられているとは限らない。様々な状態ケットがインコヒーレントに混ざり合ってる系を扱うための理論的枠組みの導入。
この枠組み内において、「熱平衡」という状態を、物理的にある程度妥当に思える要請を行うことで、統計力学の定式化が可能であり、それは古典統計力学と一致する。
演習３章
4.
ある基底での表示が０行列であるような演算子は、どんな表示でも０。
9.
組成が不明な混合アンサンブルがあるとき、様々な物理量の期待値を観測することで、密度行列が構成できる。いくつ観測すればいいかは、考えてる次元のエルミートでトレースが1の行列の自由度による。
？可能な密度行列の成す空間が�．┘襯漾璽鉢�tr=1行列全体に等しいことは自明？
演習1章
9.
さしあたり同じヒルベルト空間を張っていれば、どんな基底で演算子を行列表示して構わないので、Szの固有状態で対角化してやればあとはstraightforwardに解けます。
11.
問題9の引用を薦めていることからも読み取れますが、系が２準位の直交基底で記述できているとき、その空間にかかるあらゆる演算子の問題は、それと等価な1/2スピン系に帰着できます。適当な行列表現を見て、それをconst*n・Ｓ＋constの形に書いてやれば固有状態も固有値も求まります。変形の方法は問題２で会得しているはず。
本質は、2×2エルミート行列は3つのσ行列（＋恒等行列）で全てが尽くされているということですね。
18.
最小不確定関係を満たしているかどうかはこの問題で証明を求められた方法で判定できます。あと、他の確認の仕方として、2つの演算子が考えている状態に対して反交換関係を満たしているかを確かめるというのもあります。(まあ、単なる同値な命題です。)
24.
スピン期待値がどのように回転しているかを見ればOKです。考えてる系における向きを持った物理量はスピン期待値だけなので（観測量ではない点に注意）。
後半の問題。実はスピンの添え字xyzは、単にどう座標を取るかの問題なので、瞬殺。
演習2章
2.
確率の保存を担保しているものは、時間発展演算子のエルミート性です。
4．
異なる時間における位置の測定は互いに影響を及ぼす。ベーカーハウスドルフの式は身に付けたい。
7．
最小不確定関係を満たす状態では演算子が反交換する。これを使う。
11.
不思議な問題。
最初の与式は真空をaだけ平行移動させた状態。答えはが振幅aで単振動する。確かに古典的なイメージでは、調和振動のポテンシャルの中で系を引っ張ったらバイーンと動きそうなもんですが。この問題は量子力学における類似の状況を表してるらしい。ほんとか？
9.
さしあたり同じヒルベルト空間を張っていれば、どんな基底で演算子を行列表示して構わないので、Szの固有状態で対角化してやればあとはstraightforwardに解けます。
11.
問題9の引用を薦めていることからも読み取れますが、系が２準位の直交基底で記述できているとき、その空間にかかるあらゆる演算子の問題は、それと等価な1/2スピン系に帰着できます。適当な行列表現を見て、それをconst*n・Ｓ＋constの形に書いてやれば固有状態も固有値も求まります。変形の方法は問題２で会得しているはず。
本質は、2×2エルミート行列は3つのσ行列（＋恒等行列）で全てが尽くされているということですね。
18.
最小不確定関係を満たしているかどうかはこの問題で証明を求められた方法で判定できます。あと、他の確認の仕方として、2つの演算子が考えている状態に対して反交換関係を満たしているかを確かめるというのもあります。(まあ、単なる同値な命題です。)
24.
スピン期待値がどのように回転しているかを見ればOKです。考えてる系における向きを持った物理量はスピン期待値だけなので（観測量ではない点に注意）。
後半の問題。実はスピンの添え字xyzは、単にどう座標を取るかの問題なので、瞬殺。
演習2章
2.
確率の保存を担保しているものは、時間発展演算子のエルミート性です。
4．
異なる時間における位置の測定は互いに影響を及ぼす。ベーカーハウスドルフの式は身に付けたい。
7．
最小不確定関係を満たす状態では演算子が反交換する。これを使う。
11.
不思議な問題。
最初の与式は真空をaだけ平行移動させた状態。答えは
反省：
�．好吋献紂璽襪療垤腓能軌譽據璽垢任離▲奪廚鯡槁犬砲靴燭發里痢△泙箸泙辰慎�事を書くのが億劫になる。
�△帖爾�もっと小刻みに思ったことをチクチク書いたほうが多分負担も少ないし、勉強内容を定着させる助けになりますね。
改善策：
更新を頻繁に、分量は少なめに。
おべんきょ進捗状況
山本義隆解析力学：数学的準備：終了。一節ごとに再現できる程度にはしたいんだが、時間が・・・。
JJサクライ：１、２章本文はWKB以外コンプ。問題演習は60%位終了。やった問題は、本文読む→解く為に必要な流れを書き出せる→演習の答えの解釈をつれづれと考える ぐらいのノリで味わってます。現在3-5。
新たに↓↓を始めました。
An Introduction to Quantum Field Theory (Frontiers in Physics) / Michael E. Peskin、Daniel V. Schroeder 他
�．好吋献紂璽襪療垤腓能軌譽據璽垢任離▲奪廚鯡槁犬砲靴燭發里痢△泙箸泙辰慎�事を書くのが億劫になる。
�△帖爾�もっと小刻みに思ったことをチクチク書いたほうが多分負担も少ないし、勉強内容を定着させる助けになりますね。
改善策：
更新を頻繁に、分量は少なめに。
おべんきょ進捗状況
山本義隆解析力学：数学的準備：終了。一節ごとに再現できる程度にはしたいんだが、時間が・・・。
JJサクライ：１、２章本文はWKB以外コンプ。問題演習は60%位終了。やった問題は、本文読む→解く為に必要な流れを書き出せる→演習の答えの解釈をつれづれと考える ぐらいのノリで味わってます。現在3-5。
新たに↓↓を始めました。
An Introduction to Quantum Field Theory (Frontiers in Physics) / Michael E. Peskin、Daniel V. Schroeder 他
山本よしたか
１、 数学的準備
多様体の章がやばいよ多様体の章が。
ある束縛力を受けて運動するような物体を記述する方法として、束縛力の効果を、物体がある曲面上で運動していると解釈しなおすことが出来る。
↓
「座標空間に埋まった特定の超曲面」という状況ではなく、超曲面そのものだけを対象として扱いたい。
↓
パラメトライズの方法は色々あるから、座標の取り方によらない方程式である必要がある。
↓
適当な座標を張り合わせて覆いつくせるような集合―多様体の一般論が必要だ。
ということだと思います。
ページの上では一章は読みつくしましたが道具としてはいまいちしっくり来ないですね。特に多様体上の曲線のパラメータ微分を接ベクトルと同一視しているところは違和感が。座標表示では同じとはいえ、何でただの座標の変化率と、関数Ｆが入ってくるのを待っている微分演算子が同一視できるのか。
外積、外微分の定義が和達さんのやつより分かりやすかったので、ようやくこれらのわけ分からん物どもにちょっと親しみがわきました。
とりあえずもう一周してから２章に突入しようと思います。
１、 数学的準備
多様体の章がやばいよ多様体の章が。
ある束縛力を受けて運動するような物体を記述する方法として、束縛力の効果を、物体がある曲面上で運動していると解釈しなおすことが出来る。
↓
「座標空間に埋まった特定の超曲面」という状況ではなく、超曲面そのものだけを対象として扱いたい。
↓
パラメトライズの方法は色々あるから、座標の取り方によらない方程式である必要がある。
↓
適当な座標を張り合わせて覆いつくせるような集合―多様体の一般論が必要だ。
ということだと思います。
ページの上では一章は読みつくしましたが道具としてはいまいちしっくり来ないですね。特に多様体上の曲線のパラメータ微分を接ベクトルと同一視しているところは違和感が。座標表示では同じとはいえ、何でただの座標の変化率と、関数Ｆが入ってくるのを待っている微分演算子が同一視できるのか。
外積、外微分の定義が和達さんのやつより分かりやすかったので、ようやくこれらのわけ分からん物どもにちょっと親しみがわきました。
とりあえずもう一周してから２章に突入しようと思います。
１−６続き
さて、ここまでで平行移動演算の生成子としてPが定まったわけですが、この対称性の要請→対応する無限小変換→新たなエルミート演算子の発見という流れは今後も使われる定式化の流れです。こうして新しく定義されたエルミート演算子、そしてその固有状態を考えることで量子力学という体系がどんどん肉付けされていくわけです。
そして、非常に重要なのが、これらのエルミート演算子は、本質的には古典論の何かの物理量を関連付けて意味を与える必要がない、ということです。理論としての正当性を担保するのは当然古典論との整合性ですが、この本で目指しているのは、公理論的に量子力学を構築することであります（と私は解釈しました）。
訳あってしばらくサクライに触れてなかったので短めに。また勉強したら補完します。
さて、ここまでで平行移動演算の生成子としてPが定まったわけですが、この対称性の要請→対応する無限小変換→新たなエルミート演算子の発見という流れは今後も使われる定式化の流れです。こうして新しく定義されたエルミート演算子、そしてその固有状態を考えることで量子力学という体系がどんどん肉付けされていくわけです。
そして、非常に重要なのが、これらのエルミート演算子は、本質的には古典論の何かの物理量を関連付けて意味を与える必要がない、ということです。理論としての正当性を担保するのは当然古典論との整合性ですが、この本で目指しているのは、公理論的に量子力学を構築することであります（と私は解釈しました）。
訳あってしばらくサクライに触れてなかったので短めに。また勉強したら補完します。
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