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本文1-6
この節の議論はこの本の核心に関わる部分です。なので長めのエントリ。
今までブラケット代数なんていうワケ分からんものを使って理論を使ってきたモチベーションは「SG実験を説明してやろう」というものです。猪木河合なんかに見られるオーソドックスな定式化だと、話の流れ上古典力学との整合性はある程度担保されたうえで、理論の形式を整理する役目をするのがブラケット代数の導入です（と思う）。
ところがこの本の定式化では、古典力学との整合性はまだ何ら役割を果たしてないので、今のままでは、“SG実験を説明しうる形式論が存在するだけ”に過ぎないのです。そこで以下の命題を考えます。
“この理論形式が実際の様々な物理系を説明するならどんなものが必要か？”
まず観測量として「位置」が必要だろう。また、位置を測ると必ず同じところにあるような固有状態が必要かつ、そのような状態では三次元座標が完全に確定するとしよう。
↓
固有値としての位置を、わずかに変化させるような“平行移動”なる操作を作ろう。この操作は、理論を破綻させず、また現実の物理系を反映していなくてはならない。
↓
ならばこの操作は以下の要請を満たすだろう。
�� 移動によって状態のノルムは保存しなくてはならない―見るところによって規格化が破綻しちゃいけない
�� 平行移動させる量を何個かに分けてやっても一度にドーンとやっても同じ
�� ｘ平行移動の逆操作の引数は（−ｘ）であるはずだ
�� 平行移動は、引数ｘを０に持っていくことで滑らかに恒等写像に移る
ここから以下のように議論は続きます。
�、�ユニタリ性
�あ�無限小の平行移動はid+O(dx)と表せる。この条件により無限小の操作については�△�満たされる。��もしかり。
平行移動によって状態は変わる。だからこの演算には演算子が入っていなければならない。微少量ｄｘ’はパラメータなので、これに関して一次の項の係数には演算子が入ってくる。これをｐと置こう。さらに�，離罐縫織蠕�を満たす為にはこのpは歪エルミートでなければならない。ｐ→ipと置きなおすと新たなｐはエルミート。こうして位置固有状態を微小に変化させる平行移動演算の形が定まった。
次回に続く。
この節の議論はこの本の核心に関わる部分です。なので長めのエントリ。
今までブラケット代数なんていうワケ分からんものを使って理論を使ってきたモチベーションは「SG実験を説明してやろう」というものです。猪木河合なんかに見られるオーソドックスな定式化だと、話の流れ上古典力学との整合性はある程度担保されたうえで、理論の形式を整理する役目をするのがブラケット代数の導入です（と思う）。
ところがこの本の定式化では、古典力学との整合性はまだ何ら役割を果たしてないので、今のままでは、“SG実験を説明しうる形式論が存在するだけ”に過ぎないのです。そこで以下の命題を考えます。
“この理論形式が実際の様々な物理系を説明するならどんなものが必要か？”
まず観測量として「位置」が必要だろう。また、位置を測ると必ず同じところにあるような固有状態が必要かつ、そのような状態では三次元座標が完全に確定するとしよう。
↓
固有値としての位置を、わずかに変化させるような“平行移動”なる操作を作ろう。この操作は、理論を破綻させず、また現実の物理系を反映していなくてはならない。
↓
ならばこの操作は以下の要請を満たすだろう。
�� 移動によって状態のノルムは保存しなくてはならない―見るところによって規格化が破綻しちゃいけない
�� 平行移動させる量を何個かに分けてやっても一度にドーンとやっても同じ
�� ｘ平行移動の逆操作の引数は（−ｘ）であるはずだ
�� 平行移動は、引数ｘを０に持っていくことで滑らかに恒等写像に移る
ここから以下のように議論は続きます。
�、�ユニタリ性
�あ�無限小の平行移動はid+O(dx)と表せる。この条件により無限小の操作については�△�満たされる。��もしかり。
平行移動によって状態は変わる。だからこの演算には演算子が入っていなければならない。微少量ｄｘ’はパラメータなので、これに関して一次の項の係数には演算子が入ってくる。これをｐと置こう。さらに�，離罐縫織蠕�を満たす為にはこのpは歪エルミートでなければならない。ｐ→ipと置きなおすと新たなｐはエルミート。こうして位置固有状態を微小に変化させる平行移動演算の形が定まった。
次回に続く。
さて、読み始めましたJJSakurai。まだ全然理解は深まってないんですが、端的に言って非常に楽しい本です。特に本人の集めた演習問題は非常に深読みの余地がある、味わい深いものになっています。
本トピックではこの教科書の本文および演習問題について思うことをつらつらと書き連ねていきます。
本文
1-1―1-5
要約：シュテルンゲルラッハの実験(以下SG)が自然に理解されるような理論を構築しよう。
理論の枠組みとしてヒルベルト空間とそこに作用する自己共役演算子を用いるというのは様々な本と共通することです。ただ波動力学からの定式化でない所が特色。同様のスタイルの定式化を行っている教科書としては清水明の量子論があります。
ここまでの議論は様々な教科書でよく語られてきた議論という印象です。ただ理論の組み立てのスタート地点をSG実験に対する考察に置いている点がユニークです。個人的に光学のアナロジーのくだりは別になくてもいいかなあという気がしますが、自然な思い付きを元に定式化をしていく為には、こういう考え方というか、姿勢が必要なんでしょう。既知の現象にアナロジーを求めるという姿勢は様々な現象論の定式化に際して非常に重要だと思うので、こういう思考過程の訓練の必要性を感じます。
演習問題１章
この上巻の演習問題は、JJサクライ自身によって蒐集されたものだけあって、なかなか『深い』です。そこで各問題の意義などについて、僕が勝手に「こういうことじゃねえかなあ」と考えたことを書いていきます。トリビアルだろうがなんだろうが好き勝手書いていきます。
1、交換関係を展開する方法は色々あります。これは反交換関係を用いて展開する方法。他にも色々展開の方法はありそう。（やってないけど）
2、この問題はなかなかニクい。問題文には行列Xはエルミート、ユニタリであるとは限らないと書かれていますが、実際はこの形は2×2 C上エルミート行列の一般形を与えています。要は、一般のエルミート行列を恒等演算子とパウリ行列の線形和で表すメソッドを思いつかせる為の問題なんでしょう。この問題の結果は後々重要な意味を持つことになります。
7, ブラケット代数を用いれば射影演算子は簡単に構成できるが、オブザバブルの多項式として構成できるかは非自明であった。この問題は、どんなオブザバブルに関してもどれかの固有値に対応する固有空間への射影が ”演算子の多項式によって” 構成できることを示しています。
つづく
本トピックではこの教科書の本文および演習問題について思うことをつらつらと書き連ねていきます。
本文
1-1―1-5
要約：シュテルンゲルラッハの実験(以下SG)が自然に理解されるような理論を構築しよう。
理論の枠組みとしてヒルベルト空間とそこに作用する自己共役演算子を用いるというのは様々な本と共通することです。ただ波動力学からの定式化でない所が特色。同様のスタイルの定式化を行っている教科書としては清水明の量子論があります。
ここまでの議論は様々な教科書でよく語られてきた議論という印象です。ただ理論の組み立てのスタート地点をSG実験に対する考察に置いている点がユニークです。個人的に光学のアナロジーのくだりは別になくてもいいかなあという気がしますが、自然な思い付きを元に定式化をしていく為には、こういう考え方というか、姿勢が必要なんでしょう。既知の現象にアナロジーを求めるという姿勢は様々な現象論の定式化に際して非常に重要だと思うので、こういう思考過程の訓練の必要性を感じます。
演習問題１章
この上巻の演習問題は、JJサクライ自身によって蒐集されたものだけあって、なかなか『深い』です。そこで各問題の意義などについて、僕が勝手に「こういうことじゃねえかなあ」と考えたことを書いていきます。トリビアルだろうがなんだろうが好き勝手書いていきます。
1、交換関係を展開する方法は色々あります。これは反交換関係を用いて展開する方法。他にも色々展開の方法はありそう。（やってないけど）
2、この問題はなかなかニクい。問題文には行列Xはエルミート、ユニタリであるとは限らないと書かれていますが、実際はこの形は2×2 C上エルミート行列の一般形を与えています。要は、一般のエルミート行列を恒等演算子とパウリ行列の線形和で表すメソッドを思いつかせる為の問題なんでしょう。この問題の結果は後々重要な意味を持つことになります。
7, ブラケット代数を用いれば射影演算子は簡単に構成できるが、オブザバブルの多項式として構成できるかは非自明であった。この問題は、どんなオブザバブルに関してもどれかの固有値に対応する固有空間への射影が ”演算子の多項式によって” 構成できることを示しています。
つづく
また放置してしまった。
これからはちょっと真剣に、ある程度読むに足る文章を継続して書くことにしよう。
とりあえず今後しばらくの自分の課題を量子力学と解析力学に置くことに決定。
ということで以下の参考書に取り組みます。
１、現代の量子力学〈上〉 (物理学叢書) / 桜井 純
２、微分・位相幾何 理工系の基礎数学 / 和達 三樹
３、解析力学1 (朝倉物理学大系) / 山本 義隆、中村 孔一 他
とりあえず目標地点を思うままに書いてみると
・波動関数に対する様々な連続群の作用を大枠で理解する
・散乱理論の初歩をマスターする。マスターとは、実際の何らかの物理系に対して適切な近似を行い、nontrivialな計算結果を出せるレベルをさす。
・ハミルトン力学と初期量子論の関わりを大まかにつかむこと。WKB近似など。
・多様体上での解析力学の取り扱いの基礎を知ること
まあ当然今後の気まぐれで増えたり減ったりするでしょう。
週１か２ごとに記述に関する自分なりのまとめ、コメントを挙げることにする。
これからはちょっと真剣に、ある程度読むに足る文章を継続して書くことにしよう。
とりあえず今後しばらくの自分の課題を量子力学と解析力学に置くことに決定。
ということで以下の参考書に取り組みます。
１、現代の量子力学〈上〉 (物理学叢書) / 桜井 純
２、微分・位相幾何 理工系の基礎数学 / 和達 三樹
３、解析力学1 (朝倉物理学大系) / 山本 義隆、中村 孔一 他
とりあえず目標地点を思うままに書いてみると
・波動関数に対する様々な連続群の作用を大枠で理解する
・散乱理論の初歩をマスターする。マスターとは、実際の何らかの物理系に対して適切な近似を行い、nontrivialな計算結果を出せるレベルをさす。
・ハミルトン力学と初期量子論の関わりを大まかにつかむこと。WKB近似など。
・多様体上での解析力学の取り扱いの基礎を知ること
まあ当然今後の気まぐれで増えたり減ったりするでしょう。
週１か２ごとに記述に関する自分なりのまとめ、コメントを挙げることにする。
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