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覚書


等重率の原理を認める→あらゆる量子力学的エネルギー準位に、いくらでも粒子が入れるような粒子を仮定する→粒子数分布が正であるという要請から、このような粒子の化学ポテンシャルは正でない→μが正でないということは、粒子が集まったほうがエネルギーが得→ボース統計に従う系では、粒子が凝集しようとする。

やっと分かった。

６月２７日


院試対策

久保亮五　演習

・状態数をNの階乗で割る必要があるのはどんな時か。全ての粒子を共通の相空間で数え上げてるときは割る。各粒子ごとの相空間で独立に数え上げてるときは割らない。

今日は問題演習を１０問ほど。とりあえず現時点では全部再現できる…と思う。

６月２６日


院試対策

久保亮五　演習熱学・統計力学


第５章

・ミクロカノニカル分布は外部から操作可能なパラメータは（EVN）、故に完全な熱力学関数はエントロピー。
・同、カノニカル分布はF(T,V,N)、グランドカノニカル分布はJ(T,V,μ)（熱力学ポテンシャル）。
・熱力学的に正常な系＝エントロピーが示量的である系。この系においてはエントロピーから定義した統計力学的温度が普通の温度に一致する。
・隣接する２つの系について
　�［昭圓隆屬冒蠍澪醉僂�起きて、平行において等重率原理が実現している。
　�△修譴召譴侶呂糧�視的状態によって全体の状態を指定可能である。
　��エネルギーが近似的にそれぞれの系の和とみなせる。
　このとき分配関数は各系の積で与えられる。
・FD統計、BE統計の分布関数の求め方。ある準位における確率を定式化し、期待値を出すだけ、だが結構煩雑。


Maxwell-Boltzmann分布ってどうやって出すんだっけ？

６月２２日


院試対策

長岡洋介を最初っからやろうと思ったのだが、なんかつまらんので久保亮吾の演習書へ予定変更。

統計力学の基礎付けを概観。

知ったこと
・統計力学においては、より本質に近いのは量子統計。古典統計は単なる近似理論であるのだが、これを扱うことでも良い結果が得られる。Heisenbergの不確定性原理より、量子統計においては相空間の概念は正確さを失う。

・等重率の原理。孤立系では、エネルギー＝EとE+δEに挟まれた全ての微視的状態は等確率で実現する。

・上記の結果が成り立っている系をミクロカノニカル分布という。

・状態数、状態密度、熱力学的重率。

span style=font-size:large>・確率分布、状態数、状態密度、熱力学的重率を求める際には、量子統計力学のマインドからスタートするほうが本質的。すなわち、全ての条件を満たすエネルギー状態を数えるアプローチ。相空間の体積を求めるほうからスタートするより理解しやすいし、”何をやろうとしてるのか”がつかみやすい。

思ったこと
・上述の通り、量子統計では相空間の概念は正確さを失う。ということはエルゴード仮説は確かにまったく自明でない。
・統計力学の基礎付けは面白いけどあんまり今は深入りしないほうがいいぽい。

院試以外

内山龍雄　一般相対性理論

知ったこと
・affine connectionの定義
　リーマン空間における”平行移動”は、ユークリッド空間のそれに比べて付加項がつく。付加項への要請は、それが座標の移動度および移動前のベクトル量に比例すること。
　共変ベクトルの平行移動に対する第一の要請は、移動先が共変ベクトルであること。これを満たす為には「テンソルじゃないけど変な変換則を満たす、３つの添え字を持つ量」が付加項にかかっていることが必要。これがaffine connection。
　平行移動にもう一つの条件、ベクトルの大きさの不変性を要請すると、affine connectionと計量の間に関連がつき、計量に対しaffine connectionが一意に決まる。。この時の空間を計量接続空間という。つまりこのとき座標系を決めればaffine connectionが決まる。

・共変微分の定義
　ある座標におけるベクトル量の共変微分とは、(そこから微妙に動いたところにおけるベクトル量-元のベクトル量をそこへ平行移動したもの)の、移動度に対する変化率。

分からないこと
・曲線座標系と曲がった時空の区別が分からん。

以上。

６月２０日


ゼミにて。疑問とその解決。

Fetter&Walecka
・グリーン関数をフーリエ変換するにあたって、ポテンシャルの時間依存性にデルタ関数の形を要請しているが、これはそんなに一般的な要請なのか？
　→因果律があれば、ローレンツ変換で大概の相互作用は同時になるように出来ます。

・Goldstone　DiagramとFeynman Diagramの関連性は
　→Feynman Diagramの頭と尻尾を結んで、相互作用を横にまっすぐにしてやれば大体対応はつきます。ただ、それだけではうまくいかないものもある。


カーボンナノチューブレビュー
・「プラズマ振動数より振動数が少ない光が金属の中に入れない」式では理解できるが物理的なイメージがつかめない
　→電場によって動いた電子が電場を遮蔽しちゃって奥まで伝わらない感じ。

・上のイメージのおかげで、偏光の座標依存性による電荷の局在化、それによるポテンシャル補正を考えることと、プラズマ振動数を考えることが同値な結果を出すことがすんなり理解された。


先生より
・十分広いグラフェン上の電子がKP近似によりニュートリノと同じWeyl方程式に従うのは有名だが、実は小さいグラフェンの電子も時々Weyl方程式に従う。今までいくつかそういう組成が特定されてますが、奥底にある数理モデルはまだ分かってません。マジかよ！
・ちなみに種々の有機伝導体にもWeyl方程式が頻繁に現れます。マジかよ！


先生が楽しそうに豆知識を語る瞬間にこそ、ゼミの醍醐味はあるなと思った今日この頃。

６月19日


Fetter&Walecka

ゼミの準備の一環として思いつくままにつらつらと。

・noninteracting Green's Functionは座標で表示すると級数和や階段関数が多くて面倒。そこで、ポテンシャルが時間的、空間的に一様である場合はフーリエ変換してやりましょう。考える項は減るしポテンシャルのスピン依存性に関わらず行列要素は対角化されるわでウハウハ。

・全てのvertexの座標で積分するとデルタ関数が現れる。よってvertexにおいて運動量が保存する。物理的な解釈を与えると、全空間積分がある場合には運動量の保存は自明です。ということだ。

・k表示のnGFの具体形は、ωで積分されることを前提とした形なので、中間状態における独立なk(内部自由度)の数だけexp(iωη)をつける。これをつけないと積分が発散する。

・self energy, proper self energy.

・Dyson's eq.美しい。あらゆるレベルの近似が無限級数を生産する。励起した粒子は、１次の散乱を繰り返す限りは永遠に励起しっぱなし。

・Goldstone's theorem.ダイアグラムを見てもなんか数式にinterpret出来ない。しっくりこないなあ。

６月１８日


�￣〇鄲从�

砂川電磁気学

第８章

＄回折の一般論
　・キルヒホッフの積分表示。Greenの定理からスタート。積分方程式で表示しただけなので何ら一般性は失われていない。つまるところ一般の波動に対してこのような積分表示が可能。不変デルタ関数の入った項を、考える領域の任意性で消すところがテクい。
　・Huygensの原理の証明はちょっと感動もの。

＄散乱の一般論
　・振動数一定な定常波の空間依存部分はHelmholtz方程式に従う。
　・散乱断面積の定義に違和感。この定義だと、入射波の強さが変わったときに散乱断面積が小さくなってしまうのでは？悩んだ末、「これは入射波の強さが１のときに定義されてるものなんだ」と勝手に納得。
　・Helmholtz方程式を極座標で解く→一般解は球Bessel/球Neumann関数。
　・散乱問題を解くためには何をすることが必要か？まず遠方において全ての表式を球面波で表し、定常条件すなわち内向き波と外向き波の振幅が等しい条件を要請する。この要請により、あらゆる情報が一つの量で表される。それが「位相のずれ」。ということは、一般化として以下のことが言える（？）。「散乱体が入射波を吸収する場合、その吸収の様子の時間依存性が与えられれば、それは系の全ての情報を、ある一つの物理量で表すことを可能にする。」
　・位相のずれは、系固有の境界条件によって決定される。
　・院試本番では多分特殊関数は与えられるから覚える必要は無い…かな？ただ、どんなシチュエーションでどんな関数が出てくるかは把握するべき。

第１１章
　定式化が気に入らなかったので、ランダウ大明神のバコテンの定式化を追って終了。

以上をもって、とりあえず電磁気学の理論面でのフォローは一区切り。
感想：
　・電磁気学の理論は論理構造がすさまじく複雑。
　・ただ、「何が実験結果から要請された法則＝仮説なのか」という視点に開眼してから一気に見通しが良くなった気がする。
　・電磁気学の問題演習はなんか理論と乖離してるような気がする。
　・と、思えるのはおそらく、
　　(i)議論の抽象化の度合いが凄まじすぎる
　　(ii)その裏返しとして一般論の適用限界が広すぎて把握しきれない
　　からかな、とも思う。

次からは電磁気の問題演習を細々とやりながら統計力学のフォローに入ります。長岡洋介の統計力学をやる予定。

��院試以外
　＄授業の場の量子論
　　授業をサボりすぎてもはや何をやってるか分からなくなってきたので、Peskinを縦にしたり横にしたりして、フィロソフィーだけ把握。Klein-Gordon場の量子化のアウトラインのアウトライン位は分かった。

　＄ゼミ：Fetter&Walecka
・グリーン関数を４元運動量で記述するとどうなるか。
　　・Dyson equation。
　　・Goldstone theorem。
　　式を追っただけ。

をはり。

6月14日


砂川重信　理論電磁気学

第８章

・Stefan-Boltzmann則。ありがちな問題なのでとりあえずフローは完璧に理解した、つもり。エントロピーについての完全微分式から微分方程式を得るくだりはいろんな問題に応用可能ぽいなあ。

・プラズマ振動数、光の異常分散の問題。
電子の運動に対しドルーデモデル（≒金属）を仮定→前者の議論
ローレンツモデル（≒誘電体？）を仮定→後者の議論
てことか。

・電磁波の反射、屈折。
　通常入射、反射、屈折波は位相が揃い、波数ベクトルが同じ平面にあることは前提にしがちだが、議論のスタート地点ではそれを仮定する必要はない。電場、磁場の連続性のみからスタートして示すことが可能。境界面と平行な成分の境界条件を満たすような波は、垂直成分の境界条件も自動的に満たすのに少し驚き。なんで？
Breuster角については今まで反射光が全て消えるものと勘違いしておりました。消えるのは波数ベクトルの成す面上成分だけなのね。

　これも典型問なのである程度問題の解き方フローは整理。さすがに
�ヽ毒反凜戰�トルが同一平面にあること
��入射角＝反射角であること
�０盟蠅�そろっていること
は証明無しに使っていいと思う。

・全反射
　今まで全部表面で反射してると思ったものは、ごくわずかに中に入り込んでますよー。

・導体中の電磁波
　電信方程式。表皮効果。位相の中に虚数が入ると減衰が起こる。表皮近くにはわずかながら導体内部へ入っていく波もあるのに、エネルギーの流れは完全にゼロである点に注目。
減衰のカギは方程式の１回微分の項。時間/座標反転に対して不変でない項が出ると散逸が起こる、ということが一般に言える…と思う。

さすがに来週までに電磁気は終らせよう…。

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