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ふぇたわれchap3-4まとめ
・非相対論的フェルミオン多体系の量子論：演算子法
一般に多体系における種々のオブザバブルの基底状態での期待値はｎ体グリーン関数とモロに関係している。一体ポテンシャルを受ける集合体を無摂動状態とし、二体相互作用を摂動として摂動論を展開し、グリーン関数を計算することが出来る。ダイヤグラム記法はそのための便法。自由粒子の集合体について相互作用を導入する場合、全運動量が保存することから、波数空間での解析が有効である。
これはグリーン関数の一般論であるが、グリーン関数の極は実現可能な励起状態およびその寿命と一つ一つ対応する。Lehmann表現はこの解析的構造を一意に表せる強力さがある。
工夫により、特定の無限個のダイヤグラム系列の寄与を足し合わせることが可能である。扱う系によって、どのような系列が本質的であるかは異なる:
�．蓮璽疋灰�的なポテンシャルを持つフェルミ系では、ポテンシャル自体は特異的であるので、有限項をとりいれた摂動論は不適当である。一回相互作用したら、以降無限回相互作用するような効果まで取り入れれば、厳密な結果である部分波展開の方法と同様になるはずなので、ラダー型の系列が必要である。ラダー系列の寄与の計算においては、最終的にはポテンシャルは表式に入ってきてはならない。v→∞の極限でもwelldefinedな量ーここでは散乱振幅ーで表せればよい。
�▲�ーロン斥力を作用しあう電子系では、波数0固定のmediumとの相互作用の寄与は、すべて打ち消すはずだったので、おたま型のダイヤグラムが入ってくる寄与は無視してよい。分極が連続するようなダイヤグラムは、共通の波数の相互作用の積が含まれることから、発散する。しかしこの発散系列は、無限和をとると発散をとめることが出来る。この系列の寄与として、内部エネルギーが高密度極限でlog発散するものが現れる。
ああ、ステップ関数がたくさんかかってる項の積分を完遂する力がほしい。
・非相対論的フェルミオン多体系の量子論：演算子法
一般に多体系における種々のオブザバブルの基底状態での期待値はｎ体グリーン関数とモロに関係している。一体ポテンシャルを受ける集合体を無摂動状態とし、二体相互作用を摂動として摂動論を展開し、グリーン関数を計算することが出来る。ダイヤグラム記法はそのための便法。自由粒子の集合体について相互作用を導入する場合、全運動量が保存することから、波数空間での解析が有効である。
これはグリーン関数の一般論であるが、グリーン関数の極は実現可能な励起状態およびその寿命と一つ一つ対応する。Lehmann表現はこの解析的構造を一意に表せる強力さがある。
工夫により、特定の無限個のダイヤグラム系列の寄与を足し合わせることが可能である。扱う系によって、どのような系列が本質的であるかは異なる:
�．蓮璽疋灰�的なポテンシャルを持つフェルミ系では、ポテンシャル自体は特異的であるので、有限項をとりいれた摂動論は不適当である。一回相互作用したら、以降無限回相互作用するような効果まで取り入れれば、厳密な結果である部分波展開の方法と同様になるはずなので、ラダー型の系列が必要である。ラダー系列の寄与の計算においては、最終的にはポテンシャルは表式に入ってきてはならない。v→∞の極限でもwelldefinedな量ーここでは散乱振幅ーで表せればよい。
�▲�ーロン斥力を作用しあう電子系では、波数0固定のmediumとの相互作用の寄与は、すべて打ち消すはずだったので、おたま型のダイヤグラムが入ってくる寄与は無視してよい。分極が連続するようなダイヤグラムは、共通の波数の相互作用の積が含まれることから、発散する。しかしこの発散系列は、無限和をとると発散をとめることが出来る。この系列の寄与として、内部エネルギーが高密度極限でlog発散するものが現れる。
ああ、ステップ関数がたくさんかかってる項の積分を完遂する力がほしい。
・Green関数の振動数ωに関する解析性の意味づけとは：poleは各励起状態のエネルギーに対応する。またpoleの虚部は、各励起状態のpropagationの減衰の遅さに対応する。基底状態に場の演算子を作用すると、色々な励起状態が生成しpropagateしていくのだが、長時間で見たときの支配的な項は、poleが最も実軸に近い励起状態によるpropagation。Lehmann表現はその解析性を見るためのもの。Green関数に限らず様々な演算子の期待値について同様の解析が可能。それに関連して章末3-8をクリア。
・Dyson方程式はある系列のダイアグラムについての無限和を考慮できるのが強み。ただし、単純に使っただけではたいした意味のある結果は得られない。似たような哲学に則って立てられる積分方程式として、proper self energyの一次補正の中間状態Green関数をFullのGreen関数と置いたものが導入できる。
その手の積分方程式が簡単になるのは系の並進対称性が保たれているときだけ。つまりクーロン場とかlatticeとかnontrivialな外場中を動く多体系ではめんどくさい積分方程式を考える羽目になる。
・面白くなってまいりました。
・Dyson方程式はある系列のダイアグラムについての無限和を考慮できるのが強み。ただし、単純に使っただけではたいした意味のある結果は得られない。似たような哲学に則って立てられる積分方程式として、proper self energyの一次補正の中間状態Green関数をFullのGreen関数と置いたものが導入できる。
その手の積分方程式が簡単になるのは系の並進対称性が保たれているときだけ。つまりクーロン場とかlatticeとかnontrivialな外場中を動く多体系ではめんどくさい積分方程式を考える羽目になる。
・面白くなってまいりました。
やっと雑務がオワタ。
・Chap6〜7
グリーン関数があると何が分かるか？
→あらゆるオブザバブルの単位体積あたり期待値が分かる。
→摂動ハミルトニアンを考慮したときのエネルギーが分かる
系全体を平行移動しても系が不変なとき、(=外場を考えてないとき)どんなことがいえるか？
→波数表示グリーン関数が自然に出現
→このとき、エネルギー固有状態の完全系を挟むと、元の状態に対して粒子数が±1の状態に関する和で表せる。
波数表示グリーン関数の解析性の意味は？
→考え中
だめだー全然再現できん・・・。やり直し。
・Chap6〜7
グリーン関数があると何が分かるか？
→あらゆるオブザバブルの単位体積あたり期待値が分かる。
→摂動ハミルトニアンを考慮したときのエネルギーが分かる
系全体を平行移動しても系が不変なとき、(=外場を考えてないとき)どんなことがいえるか？
→波数表示グリーン関数が自然に出現
→このとき、エネルギー固有状態の完全系を挟むと、元の状態に対して粒子数が±1の状態に関する和で表せる。
波数表示グリーン関数の解析性の意味は？
→考え中
だめだー全然再現できん・・・。やり直し。
以前に読んだときは、何の演算子がどんなベクトル空間にかかっているかが全く整理されてなかったのであまりにのもカオスだったが、今度はある程度ちゃんと読めているらしい。
１章
chap1-2
さすがに第二量子化の導出はパス。
セルフチェック：どれが一体の状態ベクトルの空間にかかっている演算子か？
そしてどれがフォック空間にかかっている演算子か？
場の量子化のエッセンスは、非摂動ハミルトニアンの固有状態で展開した場の係数を量子化し、それらが適当な交換・反交換条件を満たすようにしてやること。ここでは議論のとびがあるのは当たり前なのです。ここら辺の定式化はペスキンをやったおかげでしっくり来る。
chap3
自分で問題設定を考えて、計算を独りで出来るようにした・・・つもり。
要は摂動論をやってるだけなのだから、初等的な摂動で出せるものは全部出すってだけの流れ。
クーロン相互作用は巨視的な中性物体ではキャンセルするはずなので、しかるべきキャンセルが起こるように、背景の正電荷によるポテンシャルなどを考慮した。
chap4-5
「BE凝縮は運動量空間で見た秩序状態である」これは新鮮な見方だった。
この転移には潜熱が必要ないので、二次転移である。となれば、そう、境界で様々な物理量が特異的な振る舞いを示すのだ。化学ポテンシャルの評価の仕方が斬新。こんなの考えつかねえよ。
１章
chap1-2
さすがに第二量子化の導出はパス。
セルフチェック：どれが一体の状態ベクトルの空間にかかっている演算子か？
そしてどれがフォック空間にかかっている演算子か？
場の量子化のエッセンスは、非摂動ハミルトニアンの固有状態で展開した場の係数を量子化し、それらが適当な交換・反交換条件を満たすようにしてやること。ここでは議論のとびがあるのは当たり前なのです。ここら辺の定式化はペスキンをやったおかげでしっくり来る。
chap3
自分で問題設定を考えて、計算を独りで出来るようにした・・・つもり。
要は摂動論をやってるだけなのだから、初等的な摂動で出せるものは全部出すってだけの流れ。
クーロン相互作用は巨視的な中性物体ではキャンセルするはずなので、しかるべきキャンセルが起こるように、背景の正電荷によるポテンシャルなどを考慮した。
chap4-5
「BE凝縮は運動量空間で見た秩序状態である」これは新鮮な見方だった。
この転移には潜熱が必要ないので、二次転移である。となれば、そう、境界で様々な物理量が特異的な振る舞いを示すのだ。化学ポテンシャルの評価の仕方が斬新。こんなの考えつかねえよ。
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