統計物理学[3]

今田統計で概念を導入した後は、ちょっと岩波をつまみ食い。

・確率過程という概念のソリッドなイメージが完成
確率過程とは、箱です。好きな数の（ｘｔ）の組を入れると、確率密度Prob(x1t1,x2t2,・・・)を一対一で返す箱です。となるとこれはまさしく量子論における状態ベクトル｜ψ(t)＞との自然な関連がつきそうだな。おそらくこれからそういう話が展開していくでしょう。

・確率分布関数のフーリエ変換にこんなにディープな意味が！

要は確率分布を波数表示で見ると、その原点における微分係数が各次数のモーメント＜x^n＞になっているということなのですが・・・なんだこれ。ちょっと意味が分からん。直感的理解が出来ん。

しかしこの本はすごい。読んでるとインスピレーションの洪水に溺れそうになる。

岩波統計[2]

はあ、冬休みだというのにタスクが多すぎる。


つれづれと。

・熱力学的に正常な系とはなにか。系のエネルギーが増えると、系の許される状態密度が「爆発的に」具体的にはexpの速さで増えていくもの。そのような状況では統計力学のアプローチから定義した熱力学的関数と、熱力学のそれの対応がつく。熱力学的関数におけるルジャンドル変換と、統計力学における状態和のラプラス変換に対応が見られる。

・等重率原理を認めたうえで平衡なる状況が実現するには、とりあえず平衡状態のごく近くの状態数が極端にとがったピークを示していなければならない。もし互いにエネルギーをやり取りしてる系に平衡が実現するなら、「互いにエネルギーをいただいて爆発的に状態数を増やそうとする系同士のせめぎあい」の結果一つの極値が存在し、それが平衡となって実現するというイメージがつく。（個人的にはこのイメージが似つかわしいと思っている。）

・ゆえに我々は、エネルギーに上限のある系に平衡の話を適用しようとしてはならない。してもいいけど熱力学との対応がつかない。ただし状態が基底近くかつ状態の励起エネルギー＞＞kTであるような系はよく説明されるし、熱力学との対応がつくだろう。基底近くにおいては普通はエネルギーが増えるほどとれる状態の数は増えるだろうし。

・熱力学的に正常な系において、ある示強変数が外部によって制御されているとき、実現する示量変数の揺らぎの大きさと、マクロな熱力学的量の関連がつく。ex.比熱⇔エネルギー揺らぎ、等温圧縮率⇔体積揺らぎ

思いつくままに書いた。

岩波統計[1]

1章について得られた個人的新しい知見

・インコヒーレントな多数の波源による波の強さについて。揺らぎは１のオーダーなので、どんなに多数の波源を集めても”ちらつく”。

・量子力学系の固有状態の体積依存性が、変分原理と摂動論で語れる。（摂動論が使えるのは、系を有限体積にとっているから状態が全て束縛状態であることに起因する。このような場合はパラメータをわずかに変えたときに新しい固有状態が爆誕することはないので摂動論が適用可能。まあ本文の主な流れには関係ない細部の話ですが・・・。）

・ビリアル定理は非常に適用範囲の広いステートメント。ここら辺は分かってないのでまた戻ってこないと。

・オブザバブルのWigner表示。角運動量演算子のWigner表示が古典的表式と一致することを確認。どうも位相空間上で見た物理量のようなものみたいだが、それがこういう形の定義であることの必然性は分かりません。戸田さんによると当然らしいですが。それにしてもWignerさんは仕事しすぎ。

・いままで食わず嫌いだったLiouvilleの定理周辺がようやくしっくりきた。時間発展の仕方を規定されたたくさんのアンサンブルをいっしょにヨーイドンさせて行くイメージ。そいつらについていって見た代表点密度Lagrange微分が0。

つーか最近のWigner遭遇率は異常。