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散乱断面積のイメージをはっきりつかまないまま来てしまったので一から復習することに。古典的散乱をランダウ力学で。
Q,結局散乱断面積って、なんなの？
A,ここに吸い込まれるとここへ吹っ飛んでくぞ！っていう面積。だからべき乗ポテンシャル下での散乱では無限大になったり。古典系では、ポテンシャルがexp減衰だったりすると全断面積がπ×到達距離の二乗程度。
ついでに力学系のスケール変換について理解が進んだ。
・定理：ラグランジアンを定数倍にするような変換は運動方程式を不変にする。
・上記の変換は長さ、時間、エネルギーなどの内二つ以上を同時にそれぞれ何倍かすることで実現可能である。ただしポテンシャル項が冪的、同次式である場合に限る。
・このとき無次元量は変換前と後で同じ挙動を示す。例は角度。
・ここから特定の方向の散乱断面積の速度依存性などが求まる。
・U(r)∝exp(-kr) (k>0) である場合というのは、長さスケールを変換すると、同時にどんな変換を施しても運動方程式の解の流れを元の相似形にすることが出来ないという意味で特殊である。
世界の長さスケールを決めているのは、様々な階層で現れるexpの依存性なのだろうか。
Q,結局散乱断面積って、なんなの？
A,ここに吸い込まれるとここへ吹っ飛んでくぞ！っていう面積。だからべき乗ポテンシャル下での散乱では無限大になったり。古典系では、ポテンシャルがexp減衰だったりすると全断面積がπ×到達距離の二乗程度。
ついでに力学系のスケール変換について理解が進んだ。
・定理：ラグランジアンを定数倍にするような変換は運動方程式を不変にする。
・上記の変換は長さ、時間、エネルギーなどの内二つ以上を同時にそれぞれ何倍かすることで実現可能である。ただしポテンシャル項が冪的、同次式である場合に限る。
・このとき無次元量は変換前と後で同じ挙動を示す。例は角度。
・ここから特定の方向の散乱断面積の速度依存性などが求まる。
・U(r)∝exp(-kr) (k>0) である場合というのは、長さスケールを変換すると、同時にどんな変換を施しても運動方程式の解の流れを元の相似形にすることが出来ないという意味で特殊である。
世界の長さスケールを決めているのは、様々な階層で現れるexpの依存性なのだろうか。
書きなぐる習慣はある程度ついた。
そろそろ次の段階へ進むべきかもしれません。
人が読める程度の文を書く、これをちょこっとだけ目指してみよう、か。
そろそろ次の段階へ進むべきかもしれません。
人が読める程度の文を書く、これをちょこっとだけ目指してみよう、か。
フォノン散乱過程を量子論の俎上に載せる方法を思いついた。何人かには話したが、この感動を忘れたくないのでメモ。（多分どっかの教科書には書いてあることなのだが）
周期構造を持った結晶の各格子点が振動する効果を議論するにはどうするか？
ハミルトニアン＝格子点についての運動エネルギー項＋相互作用項
H ＝ sigma(P^2/2m) + sigma(U(r_i - r_j))
ポテンシャル一般について、平衡位置からの微小な変位をする格子点に対するかかり方は、座標の２次まで取るのは良い近似である。このときポテンシャル項は２次形式にかけるので、適当な座標変換をして対角化することは可能。するとハミルトニアンは異なる振動数をもつ一体調和振動子のハミルトニアンの和で書ける。ここで演算子を量子化し、それぞれのモードに関する生成消滅演算子および、各モードの励起状態の直積｜n1＞｜n2＞｜n3＞‥｜nk＞を考えてやる。こうすることで、完全調和ポテンシャル下における格子振動が、それぞれ独立な振動モードの重ね合わせで表せるという現象の量子力学における表現を得た。つまりハミルトニアンがもはやsigma(hbar w(a†a + 1/2))と表せているので時間発展させても各モードはその励起数を変えないという描像。
先に考えた直積を基底状態に取り、非調和ポテンシャルを導入、量子化すると、それを基底で挟んだとき、励起数を変えるような遷移振幅がノンゼロになることは明らか。この方法でフォノンフォノン散乱現象の微視的な遷移振幅は計算できるはず。今のところ以上。
それにしてもフォノンというのはワケが分からない。座標変換によって基準モードに分解した後は、もはや新しい座標は、物質の特定の位置を指すという本来的意味を失ってるはずだ。そういったものを（仮に複数のモードを重ね合わせたとしても）局在波束という描像を使っていいものなのか？つーか座標変換後における振動の波数の物理的意味は？
つーか最近第二量子化というツールのすごさをしみじみと感じる。分かってくると何でもできるような気分になってくるなあ。正当性はまだ自分で確認してないけど（実験論文やらを当たってないという意）
周期構造を持った結晶の各格子点が振動する効果を議論するにはどうするか？
ハミルトニアン＝格子点についての運動エネルギー項＋相互作用項
H ＝ sigma(P^2/2m) + sigma(U(r_i - r_j))
ポテンシャル一般について、平衡位置からの微小な変位をする格子点に対するかかり方は、座標の２次まで取るのは良い近似である。このときポテンシャル項は２次形式にかけるので、適当な座標変換をして対角化することは可能。するとハミルトニアンは異なる振動数をもつ一体調和振動子のハミルトニアンの和で書ける。ここで演算子を量子化し、それぞれのモードに関する生成消滅演算子および、各モードの励起状態の直積｜n1＞｜n2＞｜n3＞‥｜nk＞を考えてやる。こうすることで、完全調和ポテンシャル下における格子振動が、それぞれ独立な振動モードの重ね合わせで表せるという現象の量子力学における表現を得た。つまりハミルトニアンがもはやsigma(hbar w(a†a + 1/2))と表せているので時間発展させても各モードはその励起数を変えないという描像。
先に考えた直積を基底状態に取り、非調和ポテンシャルを導入、量子化すると、それを基底で挟んだとき、励起数を変えるような遷移振幅がノンゼロになることは明らか。この方法でフォノンフォノン散乱現象の微視的な遷移振幅は計算できるはず。今のところ以上。
それにしてもフォノンというのはワケが分からない。座標変換によって基準モードに分解した後は、もはや新しい座標は、物質の特定の位置を指すという本来的意味を失ってるはずだ。そういったものを（仮に複数のモードを重ね合わせたとしても）局在波束という描像を使っていいものなのか？つーか座標変換後における振動の波数の物理的意味は？
つーか最近第二量子化というツールのすごさをしみじみと感じる。分かってくると何でもできるような気分になってくるなあ。正当性はまだ自分で確認してないけど（実験論文やらを当たってないという意）
個人的ノート
やっておきたいトピック
・相転移、臨界現象の基礎
基本的モデルおよび計算法の確認。KT転移。
・線形応答理論、確率過程
基本的哲学がまだ分からないので
・場の量子論−量子電磁気学
・場の量子論−統計力学における
ようやくなんとなーく何をやっているかのイメージは芽生えてきたのでさらに続けたい
・固体物性基礎
基本的なとこでも知らないことだらけ。個人的には今一番読み進めて楽しいトピック。
・散乱理論基礎
そもそも何を見ているか、という点で整理が足りない。物理に結びついてない、というか。
問題はこれらをどういう配分でこなしていくか、ということなのだが。
長期的努力で身につけるべきもの
・基本的姿勢、というかスキル
物理的イメージありきで考える。そしてイメージを式にするという習慣。
やっておきたいトピック
・相転移、臨界現象の基礎
基本的モデルおよび計算法の確認。KT転移。
・線形応答理論、確率過程
基本的哲学がまだ分からないので
・場の量子論−量子電磁気学
・場の量子論−統計力学における
ようやくなんとなーく何をやっているかのイメージは芽生えてきたのでさらに続けたい
・固体物性基礎
基本的なとこでも知らないことだらけ。個人的には今一番読み進めて楽しいトピック。
・散乱理論基礎
そもそも何を見ているか、という点で整理が足りない。物理に結びついてない、というか。
問題はこれらをどういう配分でこなしていくか、ということなのだが。
長期的努力で身につけるべきもの
・基本的姿勢、というかスキル
物理的イメージありきで考える。そしてイメージを式にするという習慣。
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