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量子力学における定常的な散乱問題の定式化について：
今更ながら気づいた。Lipmann-Schwinger方程式における散乱を受けた状態ベクトルの規格化が、元の平面波と変わっていることに。これはすなわち、散乱を受けた状態のノルムについては粒子の存在確率とか存在数とかそういう意味づけが不可能であることを意味する。そのことに関連して色々。
�〇桐霍爐砲弔い椴鎧區瑤里茲Δ焚鮗瓩魏辰┐襪海箸鷲垈椎修任△襪海箸肋綵劼猟未蝓�しかし、これが式変形により平面波＋球面波の形に書けることから、散乱断面積はwell-definedなのである！
�▲離襯爐�変わっているので、散乱を受けた状態ベクトルが表す系の様相として、実は『平面波がほとんどで、散乱による球面波成分はわずかに存在』というケースと、『平面波が大きく形が変わってしまって、むしろ球面波成分が支配的である』というケースの両方があり、どっちの場合も式上の平面波成分の係数は同じなのだ。
��散乱項を入射エネルギーの関数としてみたときの極が束縛状態に対応することの解釈は以下の通り。エネルギーEの自由粒子状態の系に対して、Eの固有状態を持つようなポテンシャルを加えたあと、エネルギー保存則から系の状態はその束縛状態に落ちる。これは元の平面波成分がもはやなくなっていることに対応する。この効果が式の上では球面波/平面波が∞となることで現れる。
つれづれ：
・散乱断面積はいかなる遷移に対しても定義可能。しかし設定の上では、波動関数の規格化がどうなっているかを気をつけねば。もう一度Peskinの導入を復習してみるか。
・このような定常散乱状態におけるグリーン関数の極と、異なる時間の間のプロパゲータの極はどう関連してくるのだろうか。ここが未だによく分からない。
今更ながら気づいた。Lipmann-Schwinger方程式における散乱を受けた状態ベクトルの規格化が、元の平面波と変わっていることに。これはすなわち、散乱を受けた状態のノルムについては粒子の存在確率とか存在数とかそういう意味づけが不可能であることを意味する。そのことに関連して色々。
�〇桐霍爐砲弔い椴鎧區瑤里茲Δ焚鮗瓩魏辰┐襪海箸鷲垈椎修任△襪海箸肋綵劼猟未蝓�しかし、これが式変形により平面波＋球面波の形に書けることから、散乱断面積はwell-definedなのである！
�▲離襯爐�変わっているので、散乱を受けた状態ベクトルが表す系の様相として、実は『平面波がほとんどで、散乱による球面波成分はわずかに存在』というケースと、『平面波が大きく形が変わってしまって、むしろ球面波成分が支配的である』というケースの両方があり、どっちの場合も式上の平面波成分の係数は同じなのだ。
��散乱項を入射エネルギーの関数としてみたときの極が束縛状態に対応することの解釈は以下の通り。エネルギーEの自由粒子状態の系に対して、Eの固有状態を持つようなポテンシャルを加えたあと、エネルギー保存則から系の状態はその束縛状態に落ちる。これは元の平面波成分がもはやなくなっていることに対応する。この効果が式の上では球面波/平面波が∞となることで現れる。
つれづれ：
・散乱断面積はいかなる遷移に対しても定義可能。しかし設定の上では、波動関数の規格化がどうなっているかを気をつけねば。もう一度Peskinの導入を復習してみるか。
・このような定常散乱状態におけるグリーン関数の極と、異なる時間の間のプロパゲータの極はどう関連してくるのだろうか。ここが未だによく分からない。
４章についてつらつら
・対称性を持つハミルトニアンでよく表せている系のエネルギー固有状態が、その対称性を失っている（対象操作の固有状態でない）ときは、そのエネルギーを持つ状態が多数あり、縮退している。これは４−２なんかで語られていることの対偶だが、非常に威力のあるステートメントだと思う。常磁性→強磁性への自発的対称性の破れなんかはこの好例だろう。常磁性のバルクは明らかに（ほぼ）等方的だが、温度を下げていったときの基底状態は無数（全部同じ方向でどこでもよい）存在し、どれも回転対称性を持たない。
・時間反転操作は基底に対してオーダーメイドされるべきものだ。ある基底で系を記述しようと思い立ったら、まず時間反転＝UK （U：ユニタリー演算子、K：複素数の共役を取る演算子）と置き、その基底に対する時間反転の働きを物理的考察から要請し、その系で表してる限りにおいて同値になるような演算子でUを等置してやればいい。そこから、系の時間反転に対する変換性は論じることが出来る。
・対称性が完璧に成り立っている系なんて存在しないだろう。座標変換に関わる対称性やパリティ反転対称性なんて多くの系で破棄されるべきものに見えるし、磁場がきっちり0である状態なんて考えられないからKramers縮退さえ厳密には言えない。にもかかわらずこれらの理論が現実をうまく説明するのはなぜか。つまるところ、わずかに非対称な状態と対称な状態が連続的に移り変われるということなのだろうが、よく考えれば不思議なことだ。なぜ数学的に厳密でない（ような気がする）自然が、厳密な論理体系に落とし込めるのだろう。なんか頭がこんがらがってきた。寝よ。
新しい仲間が増えました。
岩波講座現代物理学の基礎〈5〉統計物理学 (1978年)
恐ろしくムズカシ楽しい本です。10p/6hとかありえん。
・対称性を持つハミルトニアンでよく表せている系のエネルギー固有状態が、その対称性を失っている（対象操作の固有状態でない）ときは、そのエネルギーを持つ状態が多数あり、縮退している。これは４−２なんかで語られていることの対偶だが、非常に威力のあるステートメントだと思う。常磁性→強磁性への自発的対称性の破れなんかはこの好例だろう。常磁性のバルクは明らかに（ほぼ）等方的だが、温度を下げていったときの基底状態は無数（全部同じ方向でどこでもよい）存在し、どれも回転対称性を持たない。
・時間反転操作は基底に対してオーダーメイドされるべきものだ。ある基底で系を記述しようと思い立ったら、まず時間反転＝UK （U：ユニタリー演算子、K：複素数の共役を取る演算子）と置き、その基底に対する時間反転の働きを物理的考察から要請し、その系で表してる限りにおいて同値になるような演算子でUを等置してやればいい。そこから、系の時間反転に対する変換性は論じることが出来る。
・対称性が完璧に成り立っている系なんて存在しないだろう。座標変換に関わる対称性やパリティ反転対称性なんて多くの系で破棄されるべきものに見えるし、磁場がきっちり0である状態なんて考えられないからKramers縮退さえ厳密には言えない。にもかかわらずこれらの理論が現実をうまく説明するのはなぜか。つまるところ、わずかに非対称な状態と対称な状態が連続的に移り変われるということなのだろうが、よく考えれば不思議なことだ。なぜ数学的に厳密でない（ような気がする）自然が、厳密な論理体系に落とし込めるのだろう。なんか頭がこんがらがってきた。寝よ。
新しい仲間が増えました。
岩波講座現代物理学の基礎〈5〉統計物理学 (1978年)
恐ろしくムズカシ楽しい本です。10p/6hとかありえん。
本文個人的まとめ
3-5
回転の生成演算子と、その固有状態の一般論。
重要なのが、この章で展開されているのが回転の任意次元表現に関する話ということです。三次元だけのものじゃないんですよ回転ってぇのは。
3-6
座標と運動量から構成した古典的角運動量を演算子にすると、その成分が今まで見てきた回転の生成演算子が満たす交換関係と一致する。つまりここまでのロジックがX×Pにも適用可能ということ。んではこの（X×P）の各成分から作られる演算子J^2,J_zなんかの固有状態とは何か。答えはあらゆる｜j,m＞(j=整数)。とりあえず有限個の(j,m)でおさまらないことは、(X×P)が無限次元ヒルベルト空間にかかるエルミート演算子であることから自明。jが半整数をとりえないことを保証するのはシュトゥルム＝リウビルの定理だそうだ。また出たよこれ。猪木河合でも見たなあ。でも詳しく知る気にはなれん。｜j,m＞の角度表示が球面調和関数である。すげえ、ちゃんと満たすべき微分方程式が出てきた。球面調和関数と回転行列の成分の関係がいまいちしっくり来ないなあ。式は出せるけど。
3-7
回転について不変な二つの系をいっしょくたに考える手法。｜j_1m_1＞｜j_2m_2＞と同じヒルベルト空間を張る別の表示について。こういうことを考えるメリットとは何か。二つの系をいっしょくたに扱う場合には、それぞれの角運動量の関係性に依存する相互作用がしばしば現れる。例えば∝L_1・L_2とか。この形の相互作用は前者の表示では対角化されない。後者なら対角化できる。
？L_1×L_2の形の相互作用は対角化されるか？（マジであるらしい。しかも最近の物性界のホットトピックらしい。）
変換の構成の仕方――CG係数。原理的には一つの係数から全てが構成される。
つまるところ、この章の話は「直積の空間にかかる回転が直和分解される」というはなしなのですが、最後にその分解の際の行列要素の関係に関するCG級数の式が導入されている。これを利用すれば球面調和関数のあらゆる形の積の積分が計算出来るでしょう。例は３つの積だけだったけど。正直言って球面調和関数の重要性というものをいまいち肌で感じていないのですが、ここは習熟しといたほうがいい感がムンムンしますね。（もちろん言葉の上では球面調和関数が重要だってのは分かってるが。なにせまず適用範囲が広すぎる。距離依存ポテンシャルの働く２体量子系の問題は必ず球対称ポテンシャル問題に帰着できる。またあらゆる形の角度依存性は球面調和関数に分解できる。ただそれを必要とする具体的問題をやってない。授業でやったかもしれないが身についてない、自分で深く考察してないっつーことだ。そういうところを補強するのも量子論をやり直している目的の一つなのだ。）
3-8
シュウィンガーさんがすごい章。数学的な構造が同じ系は同じ計算結果を与える。当たり前だが、それをきっちり適用できる人はやはりすごい。訓練訓練。これで晴れて任意のjに属するベクトル空間の上での回転の行列表示が導出できるようになりました。めでたしめでたし。
3-5
回転の生成演算子と、その固有状態の一般論。
重要なのが、この章で展開されているのが回転の任意次元表現に関する話ということです。三次元だけのものじゃないんですよ回転ってぇのは。
3-6
座標と運動量から構成した古典的角運動量を演算子にすると、その成分が今まで見てきた回転の生成演算子が満たす交換関係と一致する。つまりここまでのロジックがX×Pにも適用可能ということ。んではこの（X×P）の各成分から作られる演算子J^2,J_zなんかの固有状態とは何か。答えはあらゆる｜j,m＞(j=整数)。とりあえず有限個の(j,m)でおさまらないことは、(X×P)が無限次元ヒルベルト空間にかかるエルミート演算子であることから自明。jが半整数をとりえないことを保証するのはシュトゥルム＝リウビルの定理だそうだ。また出たよこれ。猪木河合でも見たなあ。でも詳しく知る気にはなれん。｜j,m＞の角度表示が球面調和関数である。すげえ、ちゃんと満たすべき微分方程式が出てきた。球面調和関数と回転行列の成分の関係がいまいちしっくり来ないなあ。式は出せるけど。
3-7
回転について不変な二つの系をいっしょくたに考える手法。｜j_1m_1＞｜j_2m_2＞と同じヒルベルト空間を張る別の表示について。こういうことを考えるメリットとは何か。二つの系をいっしょくたに扱う場合には、それぞれの角運動量の関係性に依存する相互作用がしばしば現れる。例えば∝L_1・L_2とか。この形の相互作用は前者の表示では対角化されない。後者なら対角化できる。
？L_1×L_2の形の相互作用は対角化されるか？（マジであるらしい。しかも最近の物性界のホットトピックらしい。）
変換の構成の仕方――CG係数。原理的には一つの係数から全てが構成される。
つまるところ、この章の話は「直積の空間にかかる回転が直和分解される」というはなしなのですが、最後にその分解の際の行列要素の関係に関するCG級数の式が導入されている。これを利用すれば球面調和関数のあらゆる形の積の積分が計算出来るでしょう。例は３つの積だけだったけど。正直言って球面調和関数の重要性というものをいまいち肌で感じていないのですが、ここは習熟しといたほうがいい感がムンムンしますね。（もちろん言葉の上では球面調和関数が重要だってのは分かってるが。なにせまず適用範囲が広すぎる。距離依存ポテンシャルの働く２体量子系の問題は必ず球対称ポテンシャル問題に帰着できる。またあらゆる形の角度依存性は球面調和関数に分解できる。ただそれを必要とする具体的問題をやってない。授業でやったかもしれないが身についてない、自分で深く考察してないっつーことだ。そういうところを補強するのも量子論をやり直している目的の一つなのだ。）
3-8
シュウィンガーさんがすごい章。数学的な構造が同じ系は同じ計算結果を与える。当たり前だが、それをきっちり適用できる人はやはりすごい。訓練訓練。これで晴れて任意のjに属するベクトル空間の上での回転の行列表示が導出できるようになりました。めでたしめでたし。
個人的まとめ
本文3-1〜3-3
3次元における回転操作は、あらゆる点の原点からの距離を不変にすることで特徴付けられる。回転演算は3つの独立な軸があり、それぞれ恒等変換の周りで滑らかにパラメトライズされるので、対応する生成演算子がある。それらは交換関係[J_i,J_j]=iε_(ijk)J_kを満たす。生成子の満たすこれらの交換関係こそが3次元回転を特徴付けるものである。
回転群は色々な次元のベクトル空間上の変換として表現できる。どんな空間で表現しようと共通の特徴は
�＼言�子の交換関係（というかリー代数ですね）
�⊂�態を回転させたときの生成子（エルミート）の期待値の変換性
くらいか。オイラー回転の式を使うことでどんな次元の表現でも、生成子から任意の回転を構成できる。
回転群の２次元表現は1/2スピン系の枠組みに一致する。この系の顕著な特徴として、状態が2π回転で符号が逆になる。このことの正しさは干渉を計測することで検証できる。この結果が量子力学の枠組みの正しさを担保している。
3-4
前後とはちょっと異色な章。
現実の系は一つのケットで特徴付けられているとは限らない。様々な状態ケットがインコヒーレントに混ざり合ってる系を扱うための理論的枠組みの導入。
この枠組み内において、「熱平衡」という状態を、物理的にある程度妥当に思える要請を行うことで、統計力学の定式化が可能であり、それは古典統計力学と一致する。
演習３章
4.
ある基底での表示が０行列であるような演算子は、どんな表示でも０。
9.
組成が不明な混合アンサンブルがあるとき、様々な物理量の期待値を観測することで、密度行列が構成できる。いくつ観測すればいいかは、考えてる次元のエルミートでトレースが1の行列の自由度による。
？可能な密度行列の成す空間が�．┘襯漾璽鉢�tr=1行列全体に等しいことは自明？
本文3-1〜3-3
3次元における回転操作は、あらゆる点の原点からの距離を不変にすることで特徴付けられる。回転演算は3つの独立な軸があり、それぞれ恒等変換の周りで滑らかにパラメトライズされるので、対応する生成演算子がある。それらは交換関係[J_i,J_j]=iε_(ijk)J_kを満たす。生成子の満たすこれらの交換関係こそが3次元回転を特徴付けるものである。
回転群は色々な次元のベクトル空間上の変換として表現できる。どんな空間で表現しようと共通の特徴は
�＼言�子の交換関係（というかリー代数ですね）
�⊂�態を回転させたときの生成子（エルミート）の期待値の変換性
くらいか。オイラー回転の式を使うことでどんな次元の表現でも、生成子から任意の回転を構成できる。
回転群の２次元表現は1/2スピン系の枠組みに一致する。この系の顕著な特徴として、状態が2π回転で符号が逆になる。このことの正しさは干渉を計測することで検証できる。この結果が量子力学の枠組みの正しさを担保している。
3-4
前後とはちょっと異色な章。
現実の系は一つのケットで特徴付けられているとは限らない。様々な状態ケットがインコヒーレントに混ざり合ってる系を扱うための理論的枠組みの導入。
この枠組み内において、「熱平衡」という状態を、物理的にある程度妥当に思える要請を行うことで、統計力学の定式化が可能であり、それは古典統計力学と一致する。
演習３章
4.
ある基底での表示が０行列であるような演算子は、どんな表示でも０。
9.
組成が不明な混合アンサンブルがあるとき、様々な物理量の期待値を観測することで、密度行列が構成できる。いくつ観測すればいいかは、考えてる次元のエルミートでトレースが1の行列の自由度による。
？可能な密度行列の成す空間が�．┘襯漾璽鉢�tr=1行列全体に等しいことは自明？
演習1章
9.
さしあたり同じヒルベルト空間を張っていれば、どんな基底で演算子を行列表示して構わないので、Szの固有状態で対角化してやればあとはstraightforwardに解けます。
11.
問題9の引用を薦めていることからも読み取れますが、系が２準位の直交基底で記述できているとき、その空間にかかるあらゆる演算子の問題は、それと等価な1/2スピン系に帰着できます。適当な行列表現を見て、それをconst*n・Ｓ＋constの形に書いてやれば固有状態も固有値も求まります。変形の方法は問題２で会得しているはず。
本質は、2×2エルミート行列は3つのσ行列（＋恒等行列）で全てが尽くされているということですね。
18.
最小不確定関係を満たしているかどうかはこの問題で証明を求められた方法で判定できます。あと、他の確認の仕方として、2つの演算子が考えている状態に対して反交換関係を満たしているかを確かめるというのもあります。(まあ、単なる同値な命題です。)
24.
スピン期待値がどのように回転しているかを見ればOKです。考えてる系における向きを持った物理量はスピン期待値だけなので（観測量ではない点に注意）。
後半の問題。実はスピンの添え字xyzは、単にどう座標を取るかの問題なので、瞬殺。
演習2章
2.
確率の保存を担保しているものは、時間発展演算子のエルミート性です。
4．
異なる時間における位置の測定は互いに影響を及ぼす。ベーカーハウスドルフの式は身に付けたい。
7．
最小不確定関係を満たす状態では演算子が反交換する。これを使う。
11.
不思議な問題。
最初の与式は真空をaだけ平行移動させた状態。答えはが振幅aで単振動する。確かに古典的なイメージでは、調和振動のポテンシャルの中で系を引っ張ったらバイーンと動きそうなもんですが。この問題は量子力学における類似の状況を表してるらしい。ほんとか？
9.
さしあたり同じヒルベルト空間を張っていれば、どんな基底で演算子を行列表示して構わないので、Szの固有状態で対角化してやればあとはstraightforwardに解けます。
11.
問題9の引用を薦めていることからも読み取れますが、系が２準位の直交基底で記述できているとき、その空間にかかるあらゆる演算子の問題は、それと等価な1/2スピン系に帰着できます。適当な行列表現を見て、それをconst*n・Ｓ＋constの形に書いてやれば固有状態も固有値も求まります。変形の方法は問題２で会得しているはず。
本質は、2×2エルミート行列は3つのσ行列（＋恒等行列）で全てが尽くされているということですね。
18.
最小不確定関係を満たしているかどうかはこの問題で証明を求められた方法で判定できます。あと、他の確認の仕方として、2つの演算子が考えている状態に対して反交換関係を満たしているかを確かめるというのもあります。(まあ、単なる同値な命題です。)
24.
スピン期待値がどのように回転しているかを見ればOKです。考えてる系における向きを持った物理量はスピン期待値だけなので（観測量ではない点に注意）。
後半の問題。実はスピンの添え字xyzは、単にどう座標を取るかの問題なので、瞬殺。
演習2章
2.
確率の保存を担保しているものは、時間発展演算子のエルミート性です。
4．
異なる時間における位置の測定は互いに影響を及ぼす。ベーカーハウスドルフの式は身に付けたい。
7．
最小不確定関係を満たす状態では演算子が反交換する。これを使う。
11.
不思議な問題。
最初の与式は真空をaだけ平行移動させた状態。答えは
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