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ふぇたわれchap3-4まとめ
・非相対論的フェルミオン多体系の量子論：演算子法
一般に多体系における種々のオブザバブルの基底状態での期待値はｎ体グリーン関数とモロに関係している。一体ポテンシャルを受ける集合体を無摂動状態とし、二体相互作用を摂動として摂動論を展開し、グリーン関数を計算することが出来る。ダイヤグラム記法はそのための便法。自由粒子の集合体について相互作用を導入する場合、全運動量が保存することから、波数空間での解析が有効である。
これはグリーン関数の一般論であるが、グリーン関数の極は実現可能な励起状態およびその寿命と一つ一つ対応する。Lehmann表現はこの解析的構造を一意に表せる強力さがある。
工夫により、特定の無限個のダイヤグラム系列の寄与を足し合わせることが可能である。扱う系によって、どのような系列が本質的であるかは異なる:
�．蓮璽疋灰�的なポテンシャルを持つフェルミ系では、ポテンシャル自体は特異的であるので、有限項をとりいれた摂動論は不適当である。一回相互作用したら、以降無限回相互作用するような効果まで取り入れれば、厳密な結果である部分波展開の方法と同様になるはずなので、ラダー型の系列が必要である。ラダー系列の寄与の計算においては、最終的にはポテンシャルは表式に入ってきてはならない。v→∞の極限でもwelldefinedな量ーここでは散乱振幅ーで表せればよい。
�▲�ーロン斥力を作用しあう電子系では、波数0固定のmediumとの相互作用の寄与は、すべて打ち消すはずだったので、おたま型のダイヤグラムが入ってくる寄与は無視してよい。分極が連続するようなダイヤグラムは、共通の波数の相互作用の積が含まれることから、発散する。しかしこの発散系列は、無限和をとると発散をとめることが出来る。この系列の寄与として、内部エネルギーが高密度極限でlog発散するものが現れる。
ああ、ステップ関数がたくさんかかってる項の積分を完遂する力がほしい。
・非相対論的フェルミオン多体系の量子論：演算子法
一般に多体系における種々のオブザバブルの基底状態での期待値はｎ体グリーン関数とモロに関係している。一体ポテンシャルを受ける集合体を無摂動状態とし、二体相互作用を摂動として摂動論を展開し、グリーン関数を計算することが出来る。ダイヤグラム記法はそのための便法。自由粒子の集合体について相互作用を導入する場合、全運動量が保存することから、波数空間での解析が有効である。
これはグリーン関数の一般論であるが、グリーン関数の極は実現可能な励起状態およびその寿命と一つ一つ対応する。Lehmann表現はこの解析的構造を一意に表せる強力さがある。
工夫により、特定の無限個のダイヤグラム系列の寄与を足し合わせることが可能である。扱う系によって、どのような系列が本質的であるかは異なる:
�．蓮璽疋灰�的なポテンシャルを持つフェルミ系では、ポテンシャル自体は特異的であるので、有限項をとりいれた摂動論は不適当である。一回相互作用したら、以降無限回相互作用するような効果まで取り入れれば、厳密な結果である部分波展開の方法と同様になるはずなので、ラダー型の系列が必要である。ラダー系列の寄与の計算においては、最終的にはポテンシャルは表式に入ってきてはならない。v→∞の極限でもwelldefinedな量ーここでは散乱振幅ーで表せればよい。
�▲�ーロン斥力を作用しあう電子系では、波数0固定のmediumとの相互作用の寄与は、すべて打ち消すはずだったので、おたま型のダイヤグラムが入ってくる寄与は無視してよい。分極が連続するようなダイヤグラムは、共通の波数の相互作用の積が含まれることから、発散する。しかしこの発散系列は、無限和をとると発散をとめることが出来る。この系列の寄与として、内部エネルギーが高密度極限でlog発散するものが現れる。
ああ、ステップ関数がたくさんかかってる項の積分を完遂する力がほしい。
散乱断面積のイメージをはっきりつかまないまま来てしまったので一から復習することに。古典的散乱をランダウ力学で。
Q,結局散乱断面積って、なんなの？
A,ここに吸い込まれるとここへ吹っ飛んでくぞ！っていう面積。だからべき乗ポテンシャル下での散乱では無限大になったり。古典系では、ポテンシャルがexp減衰だったりすると全断面積がπ×到達距離の二乗程度。
ついでに力学系のスケール変換について理解が進んだ。
・定理：ラグランジアンを定数倍にするような変換は運動方程式を不変にする。
・上記の変換は長さ、時間、エネルギーなどの内二つ以上を同時にそれぞれ何倍かすることで実現可能である。ただしポテンシャル項が冪的、同次式である場合に限る。
・このとき無次元量は変換前と後で同じ挙動を示す。例は角度。
・ここから特定の方向の散乱断面積の速度依存性などが求まる。
・U(r)∝exp(-kr) (k>0) である場合というのは、長さスケールを変換すると、同時にどんな変換を施しても運動方程式の解の流れを元の相似形にすることが出来ないという意味で特殊である。
世界の長さスケールを決めているのは、様々な階層で現れるexpの依存性なのだろうか。
Q,結局散乱断面積って、なんなの？
A,ここに吸い込まれるとここへ吹っ飛んでくぞ！っていう面積。だからべき乗ポテンシャル下での散乱では無限大になったり。古典系では、ポテンシャルがexp減衰だったりすると全断面積がπ×到達距離の二乗程度。
ついでに力学系のスケール変換について理解が進んだ。
・定理：ラグランジアンを定数倍にするような変換は運動方程式を不変にする。
・上記の変換は長さ、時間、エネルギーなどの内二つ以上を同時にそれぞれ何倍かすることで実現可能である。ただしポテンシャル項が冪的、同次式である場合に限る。
・このとき無次元量は変換前と後で同じ挙動を示す。例は角度。
・ここから特定の方向の散乱断面積の速度依存性などが求まる。
・U(r)∝exp(-kr) (k>0) である場合というのは、長さスケールを変換すると、同時にどんな変換を施しても運動方程式の解の流れを元の相似形にすることが出来ないという意味で特殊である。
世界の長さスケールを決めているのは、様々な階層で現れるexpの依存性なのだろうか。
量子力学における定常的な散乱問題の定式化について：
今更ながら気づいた。Lipmann-Schwinger方程式における散乱を受けた状態ベクトルの規格化が、元の平面波と変わっていることに。これはすなわち、散乱を受けた状態のノルムについては粒子の存在確率とか存在数とかそういう意味づけが不可能であることを意味する。そのことに関連して色々。
�〇桐霍爐砲弔い椴鎧區瑤里茲Δ焚鮗瓩魏辰┐襪海箸鷲垈椎修任△襪海箸肋綵劼猟未蝓�しかし、これが式変形により平面波＋球面波の形に書けることから、散乱断面積はwell-definedなのである！
�▲離襯爐�変わっているので、散乱を受けた状態ベクトルが表す系の様相として、実は『平面波がほとんどで、散乱による球面波成分はわずかに存在』というケースと、『平面波が大きく形が変わってしまって、むしろ球面波成分が支配的である』というケースの両方があり、どっちの場合も式上の平面波成分の係数は同じなのだ。
��散乱項を入射エネルギーの関数としてみたときの極が束縛状態に対応することの解釈は以下の通り。エネルギーEの自由粒子状態の系に対して、Eの固有状態を持つようなポテンシャルを加えたあと、エネルギー保存則から系の状態はその束縛状態に落ちる。これは元の平面波成分がもはやなくなっていることに対応する。この効果が式の上では球面波/平面波が∞となることで現れる。
つれづれ：
・散乱断面積はいかなる遷移に対しても定義可能。しかし設定の上では、波動関数の規格化がどうなっているかを気をつけねば。もう一度Peskinの導入を復習してみるか。
・このような定常散乱状態におけるグリーン関数の極と、異なる時間の間のプロパゲータの極はどう関連してくるのだろうか。ここが未だによく分からない。
今更ながら気づいた。Lipmann-Schwinger方程式における散乱を受けた状態ベクトルの規格化が、元の平面波と変わっていることに。これはすなわち、散乱を受けた状態のノルムについては粒子の存在確率とか存在数とかそういう意味づけが不可能であることを意味する。そのことに関連して色々。
�〇桐霍爐砲弔い椴鎧區瑤里茲Δ焚鮗瓩魏辰┐襪海箸鷲垈椎修任△襪海箸肋綵劼猟未蝓�しかし、これが式変形により平面波＋球面波の形に書けることから、散乱断面積はwell-definedなのである！
�▲離襯爐�変わっているので、散乱を受けた状態ベクトルが表す系の様相として、実は『平面波がほとんどで、散乱による球面波成分はわずかに存在』というケースと、『平面波が大きく形が変わってしまって、むしろ球面波成分が支配的である』というケースの両方があり、どっちの場合も式上の平面波成分の係数は同じなのだ。
��散乱項を入射エネルギーの関数としてみたときの極が束縛状態に対応することの解釈は以下の通り。エネルギーEの自由粒子状態の系に対して、Eの固有状態を持つようなポテンシャルを加えたあと、エネルギー保存則から系の状態はその束縛状態に落ちる。これは元の平面波成分がもはやなくなっていることに対応する。この効果が式の上では球面波/平面波が∞となることで現れる。
つれづれ：
・散乱断面積はいかなる遷移に対しても定義可能。しかし設定の上では、波動関数の規格化がどうなっているかを気をつけねば。もう一度Peskinの導入を復習してみるか。
・このような定常散乱状態におけるグリーン関数の極と、異なる時間の間のプロパゲータの極はどう関連してくるのだろうか。ここが未だによく分からない。
・Green関数の振動数ωに関する解析性の意味づけとは：poleは各励起状態のエネルギーに対応する。またpoleの虚部は、各励起状態のpropagationの減衰の遅さに対応する。基底状態に場の演算子を作用すると、色々な励起状態が生成しpropagateしていくのだが、長時間で見たときの支配的な項は、poleが最も実軸に近い励起状態によるpropagation。Lehmann表現はその解析性を見るためのもの。Green関数に限らず様々な演算子の期待値について同様の解析が可能。それに関連して章末3-8をクリア。
・Dyson方程式はある系列のダイアグラムについての無限和を考慮できるのが強み。ただし、単純に使っただけではたいした意味のある結果は得られない。似たような哲学に則って立てられる積分方程式として、proper self energyの一次補正の中間状態Green関数をFullのGreen関数と置いたものが導入できる。
その手の積分方程式が簡単になるのは系の並進対称性が保たれているときだけ。つまりクーロン場とかlatticeとかnontrivialな外場中を動く多体系ではめんどくさい積分方程式を考える羽目になる。
・面白くなってまいりました。
・Dyson方程式はある系列のダイアグラムについての無限和を考慮できるのが強み。ただし、単純に使っただけではたいした意味のある結果は得られない。似たような哲学に則って立てられる積分方程式として、proper self energyの一次補正の中間状態Green関数をFullのGreen関数と置いたものが導入できる。
その手の積分方程式が簡単になるのは系の並進対称性が保たれているときだけ。つまりクーロン場とかlatticeとかnontrivialな外場中を動く多体系ではめんどくさい積分方程式を考える羽目になる。
・面白くなってまいりました。
今田統計で概念を導入した後は、ちょっと岩波をつまみ食い。
・確率過程という概念のソリッドなイメージが完成
確率過程とは、箱です。好きな数の（ｘｔ）の組を入れると、確率密度Prob(x1t1,x2t2,・・・)を一対一で返す箱です。となるとこれはまさしく量子論における状態ベクトル｜ψ(t)＞との自然な関連がつきそうだな。おそらくこれからそういう話が展開していくでしょう。
・確率分布関数のフーリエ変換にこんなにディープな意味が！
要は確率分布を波数表示で見ると、その原点における微分係数が各次数のモーメント＜x^n＞になっているということなのですが・・・なんだこれ。ちょっと意味が分からん。直感的理解が出来ん。
しかしこの本はすごい。読んでるとインスピレーションの洪水に溺れそうになる。
・確率過程という概念のソリッドなイメージが完成
確率過程とは、箱です。好きな数の（ｘｔ）の組を入れると、確率密度Prob(x1t1,x2t2,・・・)を一対一で返す箱です。となるとこれはまさしく量子論における状態ベクトル｜ψ(t)＞との自然な関連がつきそうだな。おそらくこれからそういう話が展開していくでしょう。
・確率分布関数のフーリエ変換にこんなにディープな意味が！
要は確率分布を波数表示で見ると、その原点における微分係数が各次数のモーメント＜x^n＞になっているということなのですが・・・なんだこれ。ちょっと意味が分からん。直感的理解が出来ん。
しかしこの本はすごい。読んでるとインスピレーションの洪水に溺れそうになる。
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